什麼是斯特魯夫函數？
斯特魯夫函數記為 \(H_{v}(x)\)，是數學物理中經常出現的一類特殊函數，以天文學家赫爾曼·斯特魯夫（Hermann Struve）命名。它是非齊次貝索（Bessel）微分方程的一個特解，自然地出現在聲學（振動活塞的輻射）、流體力學、電磁學以及非定常空氣動力學等領域。本計算器可針對任意實數階 v 與引數 x 求出 \(H_{v}(x)\) 的值。
計算公式
斯特魯夫函數由以下收斂冪級數定義：
$$\mathbf{H}_{\text{v}}\!\left(\text{x}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+\text{v}+\frac{3}{2}\right)} \left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{2k+\text{v}+1}$$
其中 \(\Gamma\) 為伽瑪（Gamma）函數。此級數對所有實數 \(x\) 皆收斂，不過當 \(|x|\) 很大時需要的項數會非常多，此時改用漸近展開式會更有效率。本工具直接逐項求和，並以蘭佐斯（Lanczos）近似計算伽瑪因子，同時採用穩定的逐項比值遞推法以避免數值溢位。
使用方式
輸入階數 v（任意實數）與引數 x。若階數非整數，請保持 \(x \ge 0\)，因為當 \(x\) 為負時 \((x/2)^{v+1}\) 會變成複數。按下計算即可得出 \(H_{v}(x)\)。兩個輸入值皆為無因次的純數值。
實例演算
以預設值 \(v = 0\)、\(x = 1\) 為例。此時 \(\text{half} = 0.5\)、\(\text{half}^2 = 0.25\)，前置因子 \((x/2)^{v+1} = 0.5\)。級數前幾項分別為 \(1.273239545\)、\(-0.141471061\)、\(0.005658842\)、\(-0.000115487\)、…，加總約為 \(1.137313265\)。再乘上前置因子 \(0.5\)，即得 \(H_{0}(1) \approx 0.5686566\)，與已知的高精度值 \(0.56865663339780\) 相符。
常見問題
v 可以是負數或分數嗎？ 可以。此級數對任意實數 \(v\) 皆有效，唯一例外是當 \(v + 3/2\) 為非正整數時（即 \(v = -1.5\)、\(-2.5\)、…）；此時伽瑪倒數會使對應的項自動歸零，計算器已自動處理這種情況。
當 x = 0 時會如何？ 當 \(v > -1\) 時，由於前置因子 \((x/2)^{v+1}\) 為零，整個函數值即為 \(0\)，計算器會回傳 \(0\)。
對於大數值 x 是否準確？ 當 \(|x|\) 約超過 30 時，冪級數會因項與項之間的相互抵消而損失精度。對於非常大的引數，採用漸近展開式能得到更佳的結果。
