Калькулятор функции Струве H_v(x)

Введите расчет

Порядок v

x

Both inputs are dimensionless real numbers. For non-integer order, use x ≥ 0.

Результатов

Struve Function H_v(x)

0,568656627

безразмерная величина

Метод	Определение через степенной ряд (гамма по Ланцошу)
Примечание	Accuracy reduces for large |x|; use x ≥ 0 for non-integer order.

Что такое функция Струве?

Функция Струве, обозначаемая H_v(x), — это специальная функция, которая встречается во всех разделах математической физики. Она названа в честь астронома Германа Струве и возникает как частное решение неоднородного дифференциального уравнения Бесселя. Вы столкнётесь с ней в акустике (излучение колеблющегося поршня), гидродинамике, электродинамике и нестационарной аэродинамике. Этот калькулятор вычисляет H_v(x) для любого вещественного порядка v и аргумента x.

Функция Струве \(H_v(x)\) возрастает, затем колеблется с медленно затухающей амплитудой.

Формула

Функция Струве задаётся сходящимся степенным рядом

$$\mathbf{H}_{\text{v}}\!\left(\text{x}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+\text{v}+\frac{3}{2}\right)} \left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{2k+\text{v}+1}$$

где \(\Gamma\) — гамма-функция. Ряд сходится при любом вещественном x, однако при больших \(|x|\) требуется много членов, и тогда эффективнее использовать асимптотическое разложение. Этот инструмент суммирует ряд напрямую, применяя приближение Ланцоша для гамма-множителей и устойчивую рекуррентную формулу для отношения соседних членов, чтобы избежать переполнения.

Реклама

\(H_v(x)\) вычисляется как сходящийся знакопеременный степенной ряд по \(k\).

Как пользоваться

Введите порядок v (любое вещественное число) и аргумент x. Для нецелого порядка задавайте \(x \ge 0\), поскольку при отрицательном x множитель \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1}\) становится комплексным. Нажмите «Рассчитать» и получите H_v(x). Обе величины — чистые безразмерные числа.

Разбор примера

Возьмём значения по умолчанию: \(v = 0\), \(x = 1\). Здесь \(\text{half} = 0{,}5\), \(\text{half}^2 = 0{,}25\), а предмножитель \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1} = 0{,}5\). Первые члены ряда равны \(1{,}273239545,\ -0{,}141471061,\ 0{,}005658842,\ -0{,}000115487,\ \ldots\) и в сумме дают около \(1{,}137313265\). Умножив на предмножитель \(0{,}5\), получаем \(H_0(1) \approx 0{,}5686566\), что совпадает с известным высокоточным значением \(0{,}56865663339780\).

Частые вопросы

Может ли v быть отрицательным или дробным? Да. Ряд справедлив для любого вещественного v, кроме случаев, когда \(v + \frac{3}{2}\) является неположительным целым числом (\(v = -1{,}5,\ -2{,}5,\ \ldots\)); тогда обратная гамма-функция просто обращает соответствующие члены в нуль, и это учитывается автоматически.

Что происходит при x = 0? При \(v > -1\) функция равна 0, поскольку предмножитель \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1}\) обращается в нуль; калькулятор возвращает 0.

Точен ли результат при больших x? При \(|x|\) примерно больше 30 степенной ряд теряет точность из-за взаимного сокращения членов. Для очень больших аргументов лучшие результаты даёт асимптотическое разложение.