Qu'est-ce que la fonction de Struve ?
La fonction de Struve, notée \(\mathbf{H}_{\text{v}}(\text{x})\), est une fonction spéciale omniprésente en physique mathématique. Elle doit son nom à l'astronome Hermann Struve et apparaît naturellement comme solution particulière de l'équation différentielle de Bessel inhomogène. On la rencontre en acoustique (rayonnement d'un piston vibrant), en mécanique des fluides, en électromagnétisme et en aérodynamique instationnaire. Ce calculateur évalue \(\mathbf{H}_{\text{v}}(\text{x})\) pour tout ordre réel v et tout argument x.
La formule
La fonction de Struve se définit par la série entière convergente
$$\mathbf{H}_{\text{v}}\!\left(\text{x}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+\text{v}+\frac{3}{2}\right)} \left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{2k+\text{v}+1}$$
où \(\Gamma\) désigne la fonction gamma. La série converge pour tout x réel, même si pour les grandes valeurs de \(|x|\) de nombreux termes sont nécessaires et un développement asymptotique se révèle plus efficace. Cet outil somme la série directement, en s'appuyant sur une approximation de Lanczos pour les facteurs gamma et sur une récurrence stable du rapport des termes afin d'éviter tout dépassement de capacité.
Mode d'emploi
Saisissez l'ordre v (tout nombre réel) et l'argument x. Pour un ordre non entier, conservez \(x \ge 0\), car \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1}\) devient complexe lorsque x est négatif. Cliquez sur Calculer pour obtenir \(\mathbf{H}_{\text{v}}(\text{x})\). Les deux valeurs saisies sont des nombres sans dimension.
Exemple détaillé
Prenons les valeurs par défaut \(v = 0\), \(x = 1\). On a alors \(\text{half} = 0{,}5\), \(\text{half}^2 = 0{,}25\) et le préfacteur \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1} = 0{,}5\). Les premiers termes de la série valent \(1{,}273239545\), \(-0{,}141471061\), \(0{,}005658842\), \(-0{,}000115487, \dots\) dont la somme avoisine \(1{,}137313265\). En multipliant par le préfacteur \(0{,}5\), on obtient \(\mathbf{H}_{0}(1) \approx 0{,}5686566\), ce qui correspond à la valeur de référence haute précision \(0{,}56865663339780\).
FAQ
v peut-il être négatif ou fractionnaire ? Oui. La série est valable pour tout v réel, sauf lorsque \(v + \frac{3}{2}\) est un entier négatif ou nul (\(v = -1{,}5, -2{,}5, \dots\)) ; dans ce cas, l'inverse de la fonction gamma annule simplement ces termes, ce qui est géré automatiquement.
Que se passe-t-il en x = 0 ? Pour \(v > -1\), la fonction vaut 0 car le préfacteur \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v+1}\) s'annule ; le calculateur renvoie alors 0.
Le résultat est-il précis pour les grandes valeurs de x ? La série entière perd en précision par compensation des termes dès que \(|x|\) dépasse environ 30. Pour des arguments très grands, un développement asymptotique donne de meilleurs résultats.
