حاسبة دالة ستروف H_v(x)

أدخل الحساب

الرتبة v

x

Both inputs are dimensionless real numbers. For non-integer order, use x ≥ 0.

نتائج

Struve Function H_v(x)

٠٫٥٦٨٦٥٦٦٢٧

بلا أبعاد

الطريقة	تعريف المتسلسلة القوّية (غاما لانكزوس)
ملاحظة	Accuracy reduces for large |x|; use x ≥ 0 for non-integer order.

ما هي دالة ستروف؟

دالة ستروف، التي تُكتب \(\mathbf{H}_{\text{v}}(\text{x})\)، هي دالة خاصة تظهر في مختلف فروع الفيزياء الرياضية. سُمّيت تيمناً بالفلكي هيرمان ستروف، وتنشأ بشكل طبيعي كحلٍّ خاص لمعادلة بِسِل التفاضلية غير المتجانسة. ستصادفها في علم الصوتيات (الإشعاع الصادر عن مكبس مهتز)، وديناميكا الموائع، والكهرومغناطيسية، والديناميكا الهوائية غير المستقرة. تحسب هذه الأداة قيمة \(\mathbf{H}_{\text{v}}(\text{x})\) لأي رتبة حقيقية v ووسيط x.

دالة ستروف H_v(x) ترتفع ثم تتذبذب بسعة تتناقص ببطء.

الصيغة الرياضية

تُعرَّف دالة ستروف بالمتسلسلة القوّية المتقاربة:

$$\mathbf{H}_{\text{v}}\!\left(\text{x}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+\text{v}+\frac{3}{2}\right)} \left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{2k+\text{v}+1}$$

حيث \(\Gamma\) هي دالة غاما. تتقارب هذه المتسلسلة عند كل قيمة حقيقية لـ \(\text{x}\)، لكن عند القيم الكبيرة لـ \(|\text{x}|\) تتطلب عدداً كبيراً من الحدود، وعندها يكون التوسّع التقاربي أكثر كفاءة. تجمع هذه الأداة حدود المتسلسلة مباشرةً، مستخدمةً تقريب لانكزوس لعوامل غاما، وعلاقة تكرارية مستقرة قائمة على نسبة الحدود لتفادي الطفحان العددي.

اعلان

تُحسب H_v(x) كمتسلسلة قوى متناوبة متقاربة بدلالة k.

طريقة الاستخدام

أدخل الرتبة v (أي عدد حقيقي) والوسيط x. في حالة الرتبة غير الصحيحة، احرص على أن تكون \(\text{x} \ge 0\)، لأن المقدار \(\left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{\text{v}+1}\) يصبح عدداً مركّباً عند قيم x السالبة. اضغط على زر الحساب للحصول على \(\mathbf{H}_{\text{v}}(\text{x})\). كلا المدخلين عددان حقيقيان مجرّدان بلا أبعاد.

مثال محلول

لنأخذ القيم الافتراضية \(\text{v} = 0\) و \(\text{x} = 1\). هنا يكون النصف \(= 0.5\)، ومربّع النصف \(= 0.25\)، والمعامل الأمامي \(\left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{\text{v}+1} = 0.5\). أوّل حدود المتسلسلة هي: \(1.273239545\) و\(-0.141471061\) و\(0.005658842\) و\(-0.000115487\)، ... ويبلغ مجموعها نحو \(1.137313265\). وبضرب هذا المجموع في المعامل الأمامي \(0.5\) نحصل على \(\mathbf{H}_{0}(1) \approx 0.5686566\)، وهي قيمة مطابقة للقيمة المعروفة عالية الدقة \(0.56865663339780\).

الأسئلة الشائعة

هل يمكن أن تكون v سالبة أو كسرية؟ نعم. تصلح المتسلسلة لأي قيمة حقيقية لـ \(\text{v}\)، إلا حين يكون \(\text{v} + \frac{3}{2}\) عدداً صحيحاً غير موجب (أي \(\text{v} = -1.5\)، \(-2.5\)، ...)؛ وعندها يجعل مقلوب دالة غاما تلك الحدود تتلاشى تلقائياً، وهو أمر تعالجه الأداة من تلقاء نفسها.

ماذا يحدث عند x = 0؟ عندما تكون \(\text{v} > -1\) تساوي الدالة 0، لأن المعامل الأمامي \(\left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{\text{v}+1}\) يتلاشى؛ وتُرجِع الحاسبة القيمة 0.

هل النتيجة دقيقة عند القيم الكبيرة لـ x؟ تفقد المتسلسلة القوّية دقّتها بسبب الإلغاء العددي عندما تتجاوز \(|\text{x}|\) نحو 30 تقريباً. وعند الوسائط الكبيرة جداً يعطي التوسّع التقاربي نتائج أفضل.