Struve Fonksiyonu H_v(x) Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Mertebe v

x

Both inputs are dimensionless real numbers. For non-integer order, use x ≥ 0.

Sonuç

Struve Function H_v(x)

0,568656627

boyutsuz

Yöntem	Kuvvet serisi tanımı (Lanczos gama)
Not	Accuracy reduces for large |x|; use x ≥ 0 for non-integer order.

Struve fonksiyonu nedir?

H_v(x) biçiminde yazılan Struve fonksiyonu, matematiksel fizikte sıkça karşımıza çıkan özel bir fonksiyondur. Adını gök bilimci Hermann Struve'den alır ve homojen olmayan Bessel diferansiyel denkleminin belirli bir çözümü olarak doğal biçimde ortaya çıkar. Akustikte (titreşen bir piston tarafından yayılan ışınım), akışkanlar dinamiğinde, elektromanyetikte ve kararsız aerodinamikte bu fonksiyona rastlarsınız. Bu hesaplama aracı, herhangi bir gerçel mertebe v ve argüman x için \(\mathbf{H}_{\text{v}}\!\left(\text{x}\right)\) değerini hesaplar.

Struve fonksiyonu H_v(x) önce yükselir, sonra yavaşça azalan genlikle salınır.

Formül

Struve fonksiyonu, aşağıdaki yakınsak kuvvet serisiyle tanımlanır:

$$\mathbf{H}_{\text{v}}\!\left(\text{x}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\Gamma\!\left(k+\frac{3}{2}\right)\,\Gamma\!\left(k+\text{v}+\frac{3}{2}\right)} \left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{2k+\text{v}+1}$$

burada \(\Gamma\) gama fonksiyonudur. Seri her gerçel x değeri için yakınsar; ancak büyük |x| değerlerinde çok sayıda terim gerektiğinden, asimptotik açılım daha verimli olur. Bu araç, gama çarpanları için bir Lanczos yaklaşımı ve taşmayı önlemek üzere kararlı bir terim-oranı yineleme bağıntısı kullanarak seriyi doğrudan toplar.

Reklam

H_v(x), k'ye göre yakınsak bir alternatif kuvvet serisi olarak hesaplanır.

Nasıl kullanılır?

Mertebe v (herhangi bir gerçel sayı) ile argüman x değerini girin. Tam sayı olmayan mertebelerde \(\text{x} \ge 0\) olarak tutun; çünkü negatif x için \(\left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{\text{v}+1}\) ifadesi karmaşık bir değer alır. \(\mathbf{H}_{\text{v}}\!\left(\text{x}\right)\) sonucunu görmek için hesapla düğmesine basın. Her iki giriş de boyutsuz saf sayılardır.

Çözümlü örnek

Varsayılan değerleri ele alalım: \(\text{v} = 0\), \(\text{x} = 1\). Burada yarı = 0,5, yarı² = 0,25 ve ön çarpan \(\left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{\text{v}+1} = 0{,}5\) olur. İlk seri terimleri \(1{,}273239545,\ -0{,}141471061,\ 0{,}005658842,\ -0{,}000115487,\ \ldots\) şeklindedir ve yaklaşık \(1{,}137313265\) değerine toplanır. Bunu 0,5 ön çarpanıyla çarptığımızda \(\mathbf{H}_{0}(1) \approx 0{,}5686566\) elde ederiz; bu da bilinen yüksek hassasiyetli değer \(0{,}56865663339780\) ile uyumludur.

Sık sorulan sorular

v negatif veya kesirli olabilir mi? Evet. Seri, \(\text{v} + \frac{3}{2}\) ifadesinin pozitif olmayan bir tam sayı olduğu durumlar (\(\text{v} = -1{,}5,\ -2{,}5,\ \ldots\)) dışında her gerçel v için geçerlidir; bu durumlarda gamanın tersi o terimleri sıfırlar ve bu durum otomatik olarak ele alınır.

x = 0 olduğunda ne olur? \(\text{v} > -1\) için fonksiyon 0'dır; çünkü \(\left(\frac{\text{x}}{2}\right)^{\text{v}+1}\) ön çarpanı sıfırlanır ve hesaplama aracı 0 döndürür.

Büyük x değerlerinde doğru sonuç verir mi? Kuvvet serisi, |x| değeri yaklaşık 30'u aştığında işaret değişimlerinden (terimlerin birbirini götürmesinden) kaynaklanan hassasiyet kaybına uğrar. Çok büyük argümanlar için asimptotik açılım daha iyi sonuç verir.