什么是等差数列？
等差数列是一串数字，其中每一项都比前一项增加（或减少）一个固定的数值，这个数值称为公差，记作 \(d\)。从首项 \(a_1\) 开始，后面每一项都在前一项基础上加上 \(d\)。这个计算器只需三个输入值，就能立即求出第 \(n\) 项（\(a_n\)）以及前 \(n\) 项之和（\(S_n\)）。
如何使用本计算器
依次输入首项 \(a_1\)、公差 \(d\)（递增数列填正数，递减数列填负数），以及你想求到的项数 \(n\)。点击计算，即可看到第 \(n\) 项 \(a_n\) 的值，以及从 \(a_1\) 到 \(a_n\) 全部各项的累计和 \(S_n\)。
公式解析
第 \(n\) 项由公式 $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ 求得——因为从首项之后，公差总共要加 \((n - 1)\) 次。前 \(n\) 项和则用到了高斯发现的"首尾配对"技巧：$$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$$ 也就是首项与末项的平均值，再乘以项数。
例题演示
设 \(a_1 = 2\)，\(d = 3\)，\(n = 10\)。第 10 项为 $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ 前 10 项之和为 $$S_n = \frac{10}{2} \times (2 + 29) = 5 \times 31 = 155$$
比较不同场景中的等差数列
等差数列的两个关键输出是第n项\(a_n = a_1 + (n-1)d\)和部分和\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。下表将这些公式应用于几个实际输入集合，包括正公差、负（递减）公差和分数步长。
| 首项 \(a_1\) | 公差 \(d\) | 项数 \(n\) | 第n项 \(a_n\) | 和 \(S_n\) | 数列预览 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
注意负\(d\)如何产生递减数列，以及即使后面的项变为负数，只要前面的项足够大，总和仍然可以是正数。
关键术语和变量
- 首项 \(a_1\)
- 数列的起始值——位置\(n = 1\)处的值。其他每一项都是通过反复加上公差得到的。
- 公差 \(d\)
- 从一项到下一项所加的固定量：\(d = a_{n} - a_{n-1}\)。正的\(d\)给出递增数列，负的\(d\)给出递减数列，\(d = 0\)给出常数列。
- 第n项 \(a_n\)
- 位置\(n\)处项的值，直接用\(a_n = a_1 + (n-1)d\)求得，无需列出其间的每一项。
- 部分和 \(S_n\)
- 前\(n\)项的和，\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。它将首项和末项配对，然后乘以对数。
- 项的位置 \(n\)
- 一个正整数索引，告诉你想要哪一项（第1项、第2项、第3项、……）。它也等于在\(S_n\)中被求和的项数。
- 等差数列vs.等差级数
- 数列是项的有序列表（5, 7, 9, ……）；级数是这些项相加得到的结果。\(a_n\)描述数列，而\(S_n\)是相应有限级数的值。
如何手工计算
使用此过程从三个输入\(a_1\)、\(d\)和\(n\)找到第n项和总和。我们将以\(a_1 = 5\)、\(d = 2\)、\(n = 8\)的例子进行每一步操作。
- 确定\(a_1\)、\(d\)和\(n\)。读取首项、项之间的恒定步长以及你需要的位置。这里\(a_1 = 5\)、\(d = 2\)和\(n = 8\)。
- 计算第n项。代入\(a_n = a_1 + (n-1)d\)：
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\)。 - 计算部分和。将\(a_1\)、\(a_n\)和\(n\)代入\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)：
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\)。 - 检查结果。列出项得到5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19——最后一项是\(a_8 = 19\)，它们的总和为96，确认了\(S_8\)。
如果你只需要总和，并且已经更倾向于从\(a_1\)和\(d\)开始计算，组合形式\(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\)可以一行内给出相同答案：\(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\)。
常见问题
公差 \(d\) 可以是负数吗？可以。公差为负时，数列会递减，上述公式依然完全适用。
\(S_n\) 代表什么？它是从 \(a_1\) 到 \(a_n\)（含 \(a_n\)）所有各项的总和——是一个有限项的部分和，而不是无穷级数。
如果 \(n = 1\) 会怎样？那么 \(a_n = a_1\)，\(S_n = a_1\)，因为此时数列只有一项。
