这款组合计算器（nCr）可以帮你算出：从一组互不相同的对象中选取若干个组成样本，在不考虑顺序且不允许重复的情况下，一共有多少种选法。无论是概率、统计还是其他场景中涉及组合与排列的问题，它都能轻松搞定。
什么是组合？
在组合数学中，组合指的是从一个较大的集合中选取元素，且不在乎选取的先后顺序。这一点与排列不同——排列是讲究顺序的。
标准的组合公式如下：
$$C(n, r) = \binom{\text{n}}{\text{r}} = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$其中：
- \(n\) = 集合中元素的总个数
- \(r\) = 样本大小，即选取的元素个数
- \(!\) = 阶乘
本计算器计算的是不重复的组合——也就是说，在同一个组合里每个对象只能被选中一次。
什么时候用得上
- 从一大批人中抽取一组获奖者
- 从一副牌中抽牌，且不考虑顺序的情况
- 解决与组合和排列相关的统计问题
- 当题目只需要组合数、却又涉及排列总数时进行换算
使用方法
- 输入元素总数（n）：填写整个对象集合中的元素个数。
- 输入样本大小（r）：设定你想选取的元素数量。
- 点击「计算」：计算器会套用组合公式得出结果。
- 查看结果：你会看到在不考虑顺序的前提下，从
n个元素中选出r个共有多少种方法。
计算示例
假设你想从 10 个元素中选出 3 个：
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!\left(10-3\right)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$因此，从 10 个元素中选取 3 个共有 120 种组合。
常见问题
1. 组合和排列有什么区别？
组合用于不考虑顺序的情况，而排列则适用于顺序很重要的场景。举例来说，挑选团队成员属于组合，而给成员分派不同任务则属于排列。
2. 可以计算允许重复的组合吗？
本计算器针对的是不重复的组合。如果允许重复，则需要使用另一个公式：\(n+r-1Cr\)。
3. 如果样本大小超过了元素总数会怎样？
你无法选出比集合中实际存在更多的元素。当 \(r > n\) 时，该组合在数学上是没有定义的。
常见值的nCr参考表
下表给出了\(C(n, r)\)在较小\(n\)值（从1到10）和每个有效的\(r\)选择（从0到\(n\)）下的结果。这是著名的杨辉三角（帕斯卡三角）：每个内部值等于其左上方和右上方两个值的和，每一行都是对称的，因为\(C(n, r) = C(n, n-r)\)。在第\(n\)行与第\(r\)列的交点处读取数值。
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
注意\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)（恰好有一种方式选择任何都不选，以及一种方式选择全部）且\(C(n, 1) = n\)（有\(n\)种方式选择单个项目）。
更多示例详解
每个示例直接将值代入组合公式\(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)，其中顺序无关紧要。
-
扑克手牌——52选5。标准卡组有52张卡牌，扑克手牌是5张不考虑顺序的卡牌：
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$得到2,598,960种不同的五张卡牌组合。
-
选择全部——6选6。当必须选择每一项时，只有一种可能的分组：
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$这使用了\(0! = 1\)的约定。因此\(C(6, 6) = \)1。
-
选择无——8选0。从一个集合中选择任何都不选有恰好一种方式（空选择）：
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$因此\(C(8, 0) = \)1。
-
一个委员会——10选3。从10位候选人中选择一个3人委员会（职位没有区别）：
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$
关键术语与定义
- 组合
- 从较大集合中选择项目，其中选择的顺序无关紧要。从\(n\)中选择\(r\)个项目的组合数写作\(C(n, r)\)、\(\binom{n}{r}\)或"n选r"。
- 排列
- 项目的有序排列。由于顺序重要，排列总是至少等于组合数：\(P(n, r) = C(n, r) \times r!\)。例如，\{A, B\}和\{B, A\}作为一种组合但两种排列。
- n（集合大小）
- 可供选择的不同项目的总数——整个集合的大小。在公式中它是\(\binom{n}{r}\)的上面的数字。
- r（样本大小）
- 从集合中选择的项目数。它必须满足\(0 \le r \le n\)。在公式中它是\(\binom{n}{r}\)的下面的数字。
- 阶乘(!))
- 到某个数的所有正整数的乘积：\(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)。根据定义\(0! = 1\)。阶乘在组合公式中随处可见。例如，\(5! = 120\)。
- "顺序无关紧要"
- 组合的定义特性：包含相同项目的两个选择被视为相同，无论它们被选择的顺序如何。这是为什么\(C(n, r)\)将有序计数\(P(n, r)\)除以\(r!\)以移除重复排列。
不同情景中的nCr
同样的组合公式 \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) 可以解决许多日常计数问题。因为在组合中顺序无关紧要，nCr 回答的是"能形成多少个不同的组"这样的问题，而不是"有多少个有序序列"。下表列举了几个现实情景，每个都用这个计算器计算。
| 情景 | n（总数） | r（选定数） | nCr | 现实应用 |
|---|---|---|---|---|
| 小规模配对 | 5 | 2 | 10 | 从5个人中选出2个队友的方法数，或从5个选项中选2个配菜。 |
| 委员会选举 | 10 | 3 | 120 | 从10人小组中可以选出的不同的3人小委员会数。 |
| 6/49彩票 | 49 | 6 | 13,983,816 | 从49个数字中抽取6个的总可能数——一张彩票中6个数字全部匹配的概率是这个数字中的1。 |
| 扑克手牌 | 52 | 5 | 2,598,960 | 从标准52张牌组成的5张牌手中可能的不同手牌数量（不考虑顺序）。 |
| 披萨配料 | 8 | 3 | 56 | 从8种配料菜单中选择3种的方法数，其中选择的顺序不重要。 |
扑克牌情景的验证计算：\(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) 如果顺序 确实 重要，你应该改用排列公式 \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)，这会给出一个更大的数字。
