什么是摆线？
摆线是指：当一个半径为 \(r\) 的圆沿直线做无滑动滚动时，圆周上某个固定点所描绘出的曲线。圆每滚动一整圈，就会生成一个形状完全相同的拱形，如此周而复始。摆线拥有十分优雅的精确闭式解：一拱的弧长恰好等于半径的 8 倍，而一拱下方的面积恰好是滚动圆面积的 3 倍。
如何使用本计算器
输入滚动圆的半径 \(r\)，计算器即可给出一拱的弧长、一拱下方的面积、底宽（对应一整圈滚动）以及拱高。如有需要，还可输入参数值 \(t\)（单位为弧度），通过参数方程求出描点在该时刻的精确坐标。
公式详解
摆线的参数方程为 $$x = r\,(t - \sin t), \quad y = r\,(1 - \cos t)$$将速度对 \(t\) 从 0 到 \(2\pi\) 积分，可得弧长 \(L = 8r\)。一拱的底宽等于圆周长 \(2\pi r\)，最大高度则等于直径 \(2r\)。通过积分求得的一拱下方面积为 \(A = 3\pi r^{2}\)。
实例演算
当 \(r = 2\) 时：弧长 $$L = 8 \times 2 = 16$$面积 $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37.699$$底宽 $$2\pi \times 2 \approx 12.566$$拱高 \(= 4\)。当 \(t = \pi\) 时，描点位于拱顶：$$x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6.283, \quad y = 2(1 - \cos \pi) = 4$$
常见问题
为什么弧长恰好是 \(8r\)？因为速度 \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) 在一个周期内的积分能够干净利落地化简为 \(8r\) —— 这是数学中一个非常著名的简洁结果。
面积真的是圆面积的 3 倍吗？没错 —— \(A = 3\pi r^{2}\) 恰好是 \(\pi r^{2}\) 的 3 倍，这一结论最早由伽利略同时代的学者们证明。
计算器使用什么单位？本计算器不限定具体单位；输出结果与 \(r\) 采用相同的长度单位（面积则为该单位的平方）。
