什麼是擺線？
擺線（cycloid）是指半徑為 \(r\) 的圓沿著一條直線「純滾動」（不打滑）時，圓周上某個固定點所描繪出的曲線。圓每滾動一整圈，就會畫出一道完整的拱形，連續滾動便形成一連串大小相同的拱。擺線最迷人的地方，在於它擁有漂亮又精確的封閉解：單一拱的弧長剛好是半徑的八倍，而一拱下方的面積，更剛好是滾動圓面積的三倍。
計算器使用說明
只要輸入滾動圓的半徑 \(r\)，計算器就會回傳一拱的弧長、一拱下方的面積、底寬（滾動一整圈的距離）以及拱高。此外，你也可以選擇性地輸入參數值 \(t\)（以弧度表示），透過參數方程算出該瞬間描繪點的精確座標。
公式詳解
擺線的參數方程為 \(x = r(t - \sin t)\) 與 \(y = r(1 - \cos t)\)。將速率對 \(t\) 由 0 積分到 \(2\pi\)，可得弧長 $$L = 8r.$$一拱的底寬等於圓周長 \(2\pi r\)，最大高度則等於直徑 \(2r\)。再透過積分求得一拱下方的面積為 $$A = 3\pi r^{2}.$$
實例演算
以 \(r = 2\) 為例：弧長 $$L = 8 \times 2 = 16.$$面積 $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37.699.$$底寬 $$= 2\pi \times 2 \approx 12.566,$$拱高 \(= 4\)。當 \(t = \pi\) 時，描繪點位於拱頂：$$x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6.283,$$ $$y = 2(1 - \cos \pi) = 4.$$
常見問題
為什麼弧長剛好是 \(8r\)？因為將速率 \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) 在一個週期內積分後，結果會漂亮地化簡為 \(8r\)——這是數學史上有名的簡潔結果。
面積真的是圓面積的三倍嗎？是的，\(A = 3\pi r^{2}\) 恰好是 \(\pi r^{2}\) 的三倍，這個結論最早由伽利略同時代的數學家所證明。
計算器使用什麼單位？本計算器不限定單位；所有輸出都採用與 \(r\) 相同的長度單位（面積則為該單位的平方）。
