ما هو منحنى السيكلويد؟
منحنى السيكلويد هو المسار الذي ترسمه نقطة ثابتة على حافة دائرة نصف قطرها r بينما تتدحرج هذه الدائرة دون انزلاق على طول خط مستقيم. ينتج عن ذلك سلسلة من الأقواس المتطابقة، يقابل كل قوس منها دورة كاملة للعجلة. ويتميز منحنى السيكلويد بنتائج أنيقة ومضبوطة بصيغ مغلقة: فطول قوس واحد يساوي تمامًا ثمانية أضعاف نصف القطر، أما المساحة المحصورة تحت قوس واحد فتساوي تمامًا ثلاثة أضعاف مساحة الدائرة المتدحرجة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف قطر الدائرة المتدحرجة r، فتُرجع لك الحاسبة طول قوس واحد، والمساحة الواقعة تحته، وعرض القاعدة (الموافق لدورة كاملة)، وارتفاع القوس. ويمكنك اختياريًا إدخال قيمة البارامتر t (بالراديان) لإيجاد الإحداثيات الدقيقة للنقطة الراسمة في تلك اللحظة عبر المعادلات البارامترية.
شرح المعادلات
المعادلتان البارامتريتان هما \(x = r(t - \sin t)\) و \(y = r(1 - \cos t)\). وعند مكاملة السرعة بالنسبة إلى \(t\) من 0 إلى \(2\pi\) نحصل على طول القوس \(L = 8r\). أما عرض قاعدة القوس الواحد فهو محيط الدائرة \(2\pi r\)، والارتفاع الأقصى يساوي القطر \(2r\). وتُعطى المساحة الواقعة تحت قوس واحد، التي نجدها بالمكاملة، بالعلاقة \(A = 3\pi r^{2}\).
مثال محلول
لنأخذ \(r = 2\): طول القوس $$L = 8 \times 2 = 16$$ المساحة $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37.699$$ عرض القاعدة \(= 2\pi \times 2 \approx 12.566\)، وارتفاع القوس \(= 4\). وعند \(t = \pi\) تكون النقطة عند القمة: \(x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6.283\)، و \(y = 2(1 - \cos \pi) = 4\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يساوي طول القوس \(8r\) بالضبط؟ لأن تكامل السرعة \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) على دورة كاملة يُختزل بأناقة إلى \(8r\) — وهي نتيجة شهيرة لافتة بنظافتها.
هل المساحة فعلًا ثلاثة أضعاف مساحة الدائرة؟ نعم — فالعلاقة \(A = 3\pi r^{2}\) تساوي تمامًا ثلاثة أضعاف \(\pi r^{2}\)، وهي نتيجة أثبتها أول مرة بعض معاصري غاليليو.
ما الوحدات التي تستعملها الحاسبة؟ الحاسبة لا تعتمد وحدة بعينها؛ فتأتي النتائج بوحدة الطول نفسها التي أدخلتَ بها \(r\) (والمساحات بمربع تلك الوحدة).
