사이클로이드란?
사이클로이드는 반지름이 r인 원이 직선 위를 미끄러짐 없이 굴러갈 때, 원 둘레의 한 점이 그리는 곡선입니다. 바퀴가 한 바퀴 돌 때마다 똑같은 모양의 아치가 하나씩 만들어지며, 이 아치가 연속해서 이어집니다. 사이클로이드는 깔끔하고 정확한 닫힌 형태의 결과를 갖는 것으로 유명한데, 아치 하나의 호 길이는 반지름의 정확히 8배이고, 아치 하나 아래의 넓이는 굴러가는 원 넓이의 정확히 3배입니다.
계산기 사용법
굴러가는 원의 반지름 \(r\)를 입력하세요. 계산기는 아치 하나의 호 길이, 아치 하나 아래의 넓이, 밑변 너비(한 바퀴 회전 거리), 아치 높이를 알려줍니다. 매개변수 값 \(t\)(라디안 단위)를 추가로 입력하면, 매개변수 방정식을 통해 그 순간 점이 위치하는 정확한 좌표까지 구할 수 있습니다.
공식 자세히 보기
매개변수 방정식은 $$x = r\,(t - \sin t), \quad y = r\,(1 - \cos t)$$ 입니다. 속력을 \(t\)에 대해 0부터 \(2\pi\)까지 적분하면 호 길이 \(L = 8r\)를 얻습니다. 아치 하나의 밑변 너비는 원둘레인 \(2\pi r\)이고, 최대 높이는 지름인 \(2r\)입니다. 적분으로 구한 아치 하나 아래의 넓이는 \(A = 3\pi r^{2}\)입니다.
예제로 풀어보기
\(r = 2\)일 때: 호 길이 $$L = 8 \times 2 = 16$$ 넓이 $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37.699$$ 밑변 너비 \(= 2\pi \times 2 \approx 12.566\)이고 아치 높이 \(= 4\)입니다. \(t = \pi\)일 때 점은 가장 높은 곳에 있으며, $$x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6.283, \quad y = 2(1 - \cos \pi) = 4$$ 입니다.
자주 묻는 질문
호 길이가 왜 정확히 8r인가요? 한 주기 동안 속력 \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\)를 적분하면 깔끔하게 \(8r\)로 정리되기 때문입니다. 수학에서 유명할 만큼 군더더기 없는 결과입니다.
넓이가 정말 원 넓이의 3배인가요? 네, \(A = 3\pi r^{2}\)로 \(\pi r^{2}\)의 정확히 3배입니다. 이는 갈릴레오와 동시대 학자들이 처음 증명한 결과입니다.
단위는 무엇을 사용하나요? 이 계산기는 특정 단위에 얽매이지 않습니다. 결과는 \(r\)에 사용한 길이 단위와 같으며(넓이는 그 단위의 제곱) 그대로 적용됩니다.
