साइक्लॉइड क्या है?
साइक्लॉइड वह वक्र है जो त्रिज्या \(r\) वाले किसी वृत्त की परिधि पर स्थित एक निश्चित बिंदु तब बनाता है, जब यह वृत्त किसी सीधी रेखा पर बिना फिसले लुढ़कता है। इससे एक के बाद एक एक जैसी मेहराबें (arches) बनती हैं — हर मेहराब पहिये के एक पूरे चक्कर के बराबर होती है। साइक्लॉइड के परिणाम बेहद सुंदर और सटीक बंद-रूप (closed-form) में निकलते हैं: एक मेहराब की चाप लंबाई बिल्कुल त्रिज्या की आठ गुनी होती है, और एक मेहराब के नीचे का क्षेत्रफल ठीक घूमते वृत्त के क्षेत्रफल का तीन गुना होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
घूमते वृत्त की त्रिज्या \(r\) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको एक मेहराब की चाप लंबाई, एक मेहराब के नीचे का क्षेत्रफल, आधार चौड़ाई (एक पूरा चक्कर) और मेहराब की ऊँचाई बता देगा। चाहें तो प्राचल मान \(t\) (रेडियन में) भी दर्ज करें, ताकि प्राचलिक समीकरणों के ज़रिए उस क्षण रेखांकित करने वाले बिंदु के सटीक निर्देशांक पता चल सकें।
सूत्रों की व्याख्या
प्राचलिक समीकरण हैं $$x = r\,(t - \sin t), \quad y = r\,(1 - \cos t)$$ गति (speed) का \(t = 0\) से \(2\pi\) तक समाकलन करने पर चाप लंबाई \(L = 8r\) मिलती है। एक मेहराब की आधार चौड़ाई वृत्त की परिधि \(2\pi r\) के बराबर होती है, और अधिकतम ऊँचाई व्यास \(2r\) के बराबर होती है। समाकलन से प्राप्त, एक मेहराब के नीचे का क्षेत्रफल \(A = 3\pi r^{2}\) है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r = 2\): चाप लंबाई $$L = 8 \times 2 = 16$$ क्षेत्रफल $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37.699$$ आधार चौड़ाई \(= 2\pi \times 2 \approx 12.566\) और मेहराब की ऊँचाई \(= 4\)। \(t = \pi\) पर बिंदु सबसे ऊपर होता है: \(x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6.283\), \(y = 2(1 - \cos \pi) = 4\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
चाप लंबाई ठीक \(8r\) ही क्यों होती है? क्योंकि एक पूरे आवर्तकाल में गति \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) का समाकलन सरल होकर ठीक \(8r\) बन जाता है — यह एक मशहूर और सटीक परिणाम है।
क्या क्षेत्रफल सचमुच वृत्त के क्षेत्रफल का तीन गुना होता है? हाँ — \(A = 3\pi r^{2}\) ठीक \(\pi r^{2}\) का तीन गुना है। इसे सबसे पहले गैलीलियो के समकालीन विद्वानों ने सिद्ध किया था।
यह किन इकाइयों का उपयोग करता है? यह कैलकुलेटर किसी भी इकाई के साथ काम करता है; परिणाम उसी लंबाई इकाई में आते हैं जिसमें \(r\) दिया गया है (क्षेत्रफल उस इकाई के वर्ग में)।
