¿Qué es una cicloide?
Una cicloide es la curva que describe un punto fijo del borde de una circunferencia de radio \(r\) cuando esta rueda sin deslizarse sobre una línea recta. El resultado es una sucesión de arcos idénticos, donde cada arco corresponde a una vuelta completa de la rueda. La cicloide destaca por sus resultados exactos y elegantes en forma cerrada: la longitud de un solo arco equivale exactamente a ocho veces el radio, y el área que encierra cada arco es justo el triple del área de la circunferencia que rueda.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el radio \(r\) de la circunferencia que rueda. La calculadora te devuelve la longitud de un arco, el área bajo dicho arco, la base (una revolución completa) y la altura del arco. Si lo deseas, puedes indicar también un valor del parámetro \(t\) (en radianes) para obtener las coordenadas exactas del punto que traza la curva en ese instante, mediante las ecuaciones paramétricas.
Las fórmulas explicadas
Las ecuaciones paramétricas son $$x = r\,(t - \sin t), \quad y = r\,(1 - \cos t)$$ Al integrar la rapidez respecto a \(t\) entre \(0\) y \(2\pi\) se obtiene la longitud de arco $$L = 8r.$$ La base de un arco coincide con la circunferencia, \(2\pi r\), y la altura máxima es el diámetro, \(2r\). El área bajo un arco, calculada por integración, es $$A = 3\pi r^{2}.$$
Ejemplo resuelto
Para \(r = 2\): la longitud de arco es $$L = 8 \times 2 = 16.$$ El área es $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37{,}699.$$ La base mide \(2\pi \times 2 \approx 12{,}566\) y la altura del arco es \(4\). En \(t = \pi\), el punto se sitúa en lo más alto: \(x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6{,}283\), \(y = 2(1 - \cos \pi) = 4\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué la longitud de arco es exactamente 8r? Porque la integral de la rapidez \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) a lo largo de un período se simplifica de forma limpia hasta dar \(8r\), un resultado célebre por su sencillez.
¿De verdad el área es el triple del área de la circunferencia? Sí: \(A = 3\pi r^{2}\) es exactamente tres veces \(\pi r^{2}\), un resultado demostrado por primera vez por los contemporáneos de Galileo.
¿Qué unidades utiliza? La calculadora no depende de unidades concretas; los resultados se expresan en la misma unidad de longitud que \(r\) (y las áreas, en esa unidad al cuadrado).
