サイクロイドとは？
サイクロイドとは、半径 \(r\) の円が直線上を滑らずに転がるとき、その円周上の固定された一点が描く曲線のことです。円が1回転するごとに、同じ形のアーチが連続して描かれます。サイクロイドには美しく厳密な閉じた式が知られており、1つのアーチの弧長はちょうど半径の8倍、アーチの下の面積はちょうど転がる円の面積の3倍になります。
この計算機の使い方
転がる円の半径 \(r\) を入力してください。1つのアーチの弧長、アーチ下の面積、底辺の幅（1回転分）、アーチの高さが求められます。さらに媒介変数の値 \(t\)（ラジアン）を入力すれば、媒介変数方程式を使って、その瞬間に点が描く正確な座標を求めることもできます。
公式の解説
媒介変数方程式は $$x = r\,(t - \sin t), \quad y = r\,(1 - \cos t)$$ です。速さを \(t\) について 0 から \(2\pi\) まで積分すると、弧長 $$L = 8r$$ が得られます。1つのアーチの底辺の幅は円周にあたる \(2\pi r\) で、最大の高さは直径の \(2r\) です。アーチ下の面積は積分によって $$A = 3\pi r^{2}$$ と求められます。
計算例
\(r = 2\) の場合：弧長は $$L = 8 \times 2 = 16$$ 面積は $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37.699$$ 底辺の幅は \(2\pi \times 2 \approx 12.566\)、アーチの高さは \(4\) です。\(t = \pi\) のとき、点は頂上にあり、\(x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6.283\)、\(y = 2(1 - \cos \pi) = 4\) となります。
よくある質問
なぜ弧長はちょうど 8r になるのですか？ 速さ \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) を1周期にわたって積分すると、きれいに \(8r\) へと簡約されるからです。これは有名なほど美しい結果として知られています。
面積は本当に円の面積の3倍なのですか？ はい。\(A = 3\pi r^{2}\) は \(\pi r^{2}\) のちょうど3倍であり、ガリレオと同時代の数学者によって初めて証明された結果です。
単位は何を使いますか？ この計算機は単位に依存しません。出力は \(r\) と同じ長さの単位（面積はその単位の2乗）で表されます。
