Что такое циклоида?
Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка на ободе окружности радиуса r, когда та катится без проскальзывания вдоль прямой линии. В результате получается череда одинаковых арок: каждая соответствует одному полному обороту колеса. У циклоиды есть удивительно изящные точные формулы: длина дуги одной арки ровно в восемь раз больше радиуса, а площадь под одной аркой ровно втрое превышает площадь самой катящейся окружности.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус катящейся окружности r. Калькулятор вычислит длину дуги одной арки, площадь под ней, ширину основания (один полный оборот) и высоту арки. При желании укажите значение параметра t (в радианах), чтобы по параметрическим уравнениям найти точные координаты движущейся точки в этот момент.
Разбор формул
Параметрические уравнения имеют вид
$$x = r\,(t - \sin t), \quad y = r\,(1 - \cos t)$$Интегрируя скорость по \(t\) от \(0\) до \(2\pi\), получаем длину дуги
$$L = 8r$$Ширина основания одной арки равна длине окружности \(2\pi r\), а максимальная высота — диаметру \(2r\). Площадь под одной аркой, найденная интегрированием, составляет
$$A = 3\pi r^{2}$$
Пример расчёта
Пусть \(r = 2\): длина дуги
$$L = 8 \times 2 = 16$$Площадь
$$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37{,}699$$Ширина основания \(= 2\pi \times 2 \approx 12{,}566\), высота арки \(= 4\). При \(t = \pi\) точка находится в верхней позиции:
$$x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6{,}283, \quad y = 2(1 - \cos \pi) = 4$$Частые вопросы
Почему длина дуги равна ровно \(8r\)? Потому что интеграл скорости \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) за один период аккуратно сводится к \(8r\) — это знаменитый своей чистотой результат.
Площадь действительно втрое больше площади круга? Да — \(A = 3\pi r^{2}\) ровно втрое превышает \(\pi r^{2}\). Этот результат впервые доказали ещё современники Галилея.
В каких единицах работает калькулятор? Калькулятор не привязан к конкретным единицам: результаты выражены в тех же единицах длины, что и \(r\) (площади — в квадратных единицах).
