Qu'est-ce qu'une cycloïde ?
Une cycloïde est la courbe décrite par un point fixe situé sur le bord d'un cercle de rayon r qui roule sans glisser le long d'une droite. Elle engendre une succession d'arches identiques, chacune correspondant à un tour complet de la roue. La cycloïde se distingue par des résultats exacts et particulièrement élégants : la longueur d'une arche vaut exactement huit fois le rayon, et l'aire comprise sous une arche est exactement le triple de celle du cercle générateur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le rayon du cercle roulant \(r\). Le calculateur vous renvoie la longueur d'une arche, l'aire sous une arche, la largeur de base (un tour complet) et la hauteur de l'arche. Vous pouvez aussi indiquer une valeur du paramètre \(t\) (en radians) pour obtenir les coordonnées exactes du point traceur à cet instant, grâce aux équations paramétriques.
Les formules expliquées
Les équations paramétriques sont $$x = r\,(t - \sin t), \quad y = r\,(1 - \cos t)$$ En intégrant la vitesse sur \(t\) de \(0\) à \(2\pi\), on obtient la longueur d'arc $$L = 8r$$ La largeur de base d'une arche correspond à la circonférence \(2\pi r\), et la hauteur maximale au diamètre \(2r\). L'aire sous une arche, calculée par intégration, vaut $$A = 3\pi r^{2}$$
Exemple résolu
Pour \(r = 2\) : longueur d'arc $$L = 8 \times 2 = 16$$ Aire $$A = 3\pi \times 2^{2} = 12\pi \approx 37{,}699$$ Largeur de base \(= 2\pi \times 2 \approx 12{,}566\) et hauteur de l'arche \(= 4\). En \(t = \pi\), le point se trouve au sommet : \(x = 2(\pi - \sin \pi) = 2\pi \approx 6{,}283\), \(y = 2(1 - \cos \pi) = 4\).
FAQ
Pourquoi la longueur d'arc vaut-elle exactement \(8r\) ? Parce que l'intégrale de la vitesse \(\sqrt{2r^{2}(1-\cos t)}\) sur une période se simplifie élégamment en \(8r\) — un résultat aussi célèbre que limpide.
L'aire est-elle vraiment le triple de celle du cercle ? Oui : \(A = 3\pi r^{2}\) représente exactement trois fois \(\pi r^{2}\), un résultat démontré pour la première fois par les contemporains de Galilée.
Quelles unités sont utilisées ? Le calculateur est indépendant des unités ; les résultats s'expriment dans la même unité de longueur que \(r\) (les aires dans cette unité au carré).
