ماذا تفعل هذه الحاسبة
تأخذ هذه الحاسبة أي مقدار تربيعي على الصورة \(\text{a}x^{2} + \text{b}x + \text{c}\) وتعيد كتابته كحاصل ضرب عاملين خطّيين: \(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\). وهي تعمل مع أي معاملات حقيقية — وليس فقط الأعداد الصحيحة «الجميلة» — إذ تحسب الجذور باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية ثم تستخدمها لبناء الصيغة المحلّلة. كما تعرض قيمة المميِّز حتى تستطيع أن تعرف بنظرة واحدة هل يمكن تحليل المعادلة في مجموعة الأعداد الحقيقية أم لا.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة: \(\text{a}\) (المعامل أمام \(x^{2}\))، و\(\text{b}\) (المعامل أمام \(x\))، و\(\text{c}\) (الحدّ الثابت). ثم اضغط على زر الحساب. تعيد الأداة الصيغة المحلّلة إلى عوامل خطّية، إضافة إلى الجذرين والمميِّز \(\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\). وإذا كان المميِّز سالبًا فلا يوجد تحليل حقيقي للمعادلة، وتعرض الحاسبة عندئذٍ الجذرين المركّبين المترافقين.
شرح القانون
تُستخرج الجذور من القانون العام:
$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$والمقدار الواقع تحت الجذر التربيعي، أي \(\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\)، هو المميِّز. فإذا كان موجبًا كان للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان؛ وإذا كان مساويًا للصفر كان لها جذر واحد مكرّر (مربّع كامل)؛ وإذا كان سالبًا كانت الجذور مركّبة. وبمعرفة الجذرين \(r_{1}\) و\(r_{2}\) تصبح المعادلة التربيعية الأصلية مساوية لـ \(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\)، لأنّ فكّ هذا الحاصل يعيد إنتاج المعاملات نفسها.
مثال محلول
لِنحلّل \(x^{2} - 5x + 6\). هنا \(\text{a} = 1\)، و\(\text{b} = -5\)، و\(\text{c} = 6\). المميِّز يساوي $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ والجذران هما \(\frac{5 \pm 1}{2}\) أي \(3\) و\(2\). إذن \(x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\). ويمكنك التحقّق بالضرب: \(x^{2} - 2x - 3x + 6 = x^{2} - 5x + 6\). ✓
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(\text{a} = 0\)؟ عندئذٍ يصبح المقدار خطّيًا لا تربيعيًا، ولا يمكن تحليله إلى عاملين خطّيين — وتنبّهك الحاسبة إلى هذه الحالة.
ماذا يعني المميِّز السالب؟ يعني أنّ المعادلة لا تملك جذورًا حقيقية، ومن ثَمّ لا يمكن تحليلها باستخدام الأعداد الحقيقية؛ فالجذران زوج مركّب مترافق على الصورة \(p \pm qi\).
هل يمكن أن تكون الجذور كسورًا أو أعدادًا عشرية؟ نعم. حتى عندما لا تكون العوامل أعدادًا صحيحة، فإنّ الصيغة المعروضة \(\text{a}(x - r_{1})(x - r_{2})\) تظلّ دقيقة تمامًا بالنسبة إلى المعاملات المُدخلة.
