Qué hace la calculadora de progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término aumenta (o disminuye) en una cantidad fija, llamada diferencia común. Esta calculadora parte de tres datos y devuelve al instante el último término, la suma de todos los términos y una representación visual con colores de toda la sucesión, para que veas la progresión de un solo vistazo.
Los datos que debes introducir
- Primer término (a₁): el valor con el que arranca la sucesión.
- Diferencia común (d): la cantidad que se suma a cada término para obtener el siguiente. Un valor positivo hace que la sucesión crezca; uno negativo hace que decrezca.
- Número de términos (n): cuántos términos quieres generar, listar y sumar.
Las fórmulas que utiliza
La calculadora aplica las dos fórmulas clásicas de las progresiones aritméticas:
- Término n-ésimo (último término): $$a_n = a_1 + \left(n - 1\right) \times d$$
- Suma de n términos: $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + \left(n - 1\right) \times d\right)$$
Además, construye cada término individual desde \(a_1\) hasta \(a_n\). En la representación visual, cada término aparece con un degradado de color del verde al rojo y un tamaño ligeramente distinto: el valor más pequeño se muestra en verde y pequeño, y el mayor en rojo y grande, de modo que la tendencia resulta muy fácil de seguir.
Ejemplo resuelto
Supongamos que introduces Primer término = 3, Diferencia común = 5 y Número de términos = 6.
- Último término: $$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right) \times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- Suma: $$S_6 = \frac{6}{2}\left(2 \times 3 + \left(6 - 1\right) \times 5\right) = 3 \times \left(6 + 25\right) = 3 \times 31 = \mathbf{93}$$
- Sucesión: 3, 8, 13, 18, 23, 28
La calculadora devuelve 28 como último término, 93 como suma y muestra los seis términos con su degradado de color.
Comparación de diferentes entradas de secuencias
Una secuencia aritmética se define por tres entradas: el primer término \(a_1\), la diferencia común \(d\), y el número de términos \(n\). A partir de estos se pueden calcular el último término (enésimo) y la suma de todos los términos usando:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
La tabla a continuación muestra cómo cambian el último término y la suma en varios conjuntos de entrada realistas. Observe cómo una diferencia común negativa produce una secuencia decreciente, y una diferencia fraccionaria produce términos no enteros.
| Primer término \(a_1\) | Diferencia común \(d\) | Número de términos \(n\) | Último término \(a_n\) | Suma \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
Por ejemplo, la última fila suma los enteros \(0+1+2+\cdots+99\). Usando \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\). Este mismo total se puede confirmar con la fórmula de serie aritmética, y equivalentemente como la sumatoria \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\).
Preguntas frecuentes
¿La diferencia común puede ser negativa o decimal? Sí. Los datos se interpretan como números decimales, así que una diferencia de −2 genera una sucesión decreciente y 0,5 produce pasos fraccionarios. Solo el número de términos debe ser un número entero.
¿Qué ocurre si introduzco 1 en el número de términos? La sucesión contendrá únicamente el primer término, el último término será igual al primero y la suma será simplemente ese mismo valor.
¿Sirve también para una serie aritmética? Sí: el resultado de la «suma» es exactamente el valor de la serie aritmética (el total de todos los términos), calculado con la fórmula \(S_n\) anterior.
