Qu'est-ce que le module d'un nombre complexe ?
Un nombre complexe s'écrit sous la forme \(a + bi\), où a désigne la partie réelle et b la partie imaginaire. Le module (que l'on appelle aussi valeur absolue ou norme) correspond à la distance entre l'origine et le point (a, b) dans le plan complexe. Ce calculateur détermine cette distance et indique également l'argument, c'est-à-dire l'angle du nombre complexe.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la partie réelle a et la partie imaginaire b de votre nombre complexe. L'outil affiche immédiatement \(|a + bi|\), les carrés \(a^2\) et \(b^2\) qui interviennent dans le calcul, ainsi que l'argument exprimé à la fois en radians et en degrés.
La formule expliquée
Le module se calcule avec $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Il s'agit d'une application directe du théorème de Pythagore : a et b forment les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et le module en est l'hypoténuse. Comme les deux termes sont élevés au carré, le résultat est toujours positif ou nul. L'argument, lui, s'obtient grâce à \(\operatorname{atan2}(b, a)\), une fonction qui gère correctement chaque quadrant.
Exemple détaillé
Prenons le nombre complexe \(3 + 4i\). On calcule d'abord \(a^2 = 9\) et \(b^2 = 16\). Leur somme vaut 25, et la racine carrée de 25 est égale à 5. On a donc $$|3 + 4i| = 5$$ L'argument vaut quant à lui \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) radian, soit environ 53,13°.
Nombres Complexes Courants et Leur Module
Modules et arguments pour les nombres complexes fréquemment utilisés. Les arguments utilisent la valeur principale de \(\operatorname{atan2}(b,a)\), dans la plage \((-180^\circ, 180^\circ]\).
| \(a+bi\) | Module \(|a+bi|\) | Argument (radians) | Argument (degrés) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (indéfini) | 0° (indéfini) |
Remarque : l'argument de \(0+0i\) est indéfini car le point est à l'origine ; la plupart des implémentations retournent 0 par convention.
Termes Clés
- Nombre complexe
- Un nombre de la forme \(a + bi\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et \(i\) est l'unité imaginaire satisfaisant \(i^2 = -1\).
- Partie réelle (a)
- La composante \(a\) de \(a+bi\) qui se situe le long de l'axe horizontal (réel) du plan complexe.
- Partie imaginaire (b)
- Le coefficient réel \(b\) de l'unité imaginaire dans \(a+bi\) ; il se situe le long de l'axe vertical (imaginaire). Remarquez que la partie imaginaire est le nombre \(b\), pas \(bi\).
- Module / valeur absolue
- La distance de l'origine au point \((a,b)\) dans le plan complexe, écrit \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Il est toujours non-négatif.
- Argument
- L'angle \(\theta\) entre l'axe réel positif et la ligne de l'origine à \((a,b)\), mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Combiné avec le module, il donne la forme polaire \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
- Plan complexe
- Un plan bidimensionnel (aussi appelé diagramme d'Argand) dans lequel l'axe horizontal représente la partie réelle et l'axe vertical représente la partie imaginaire, permettant à chaque nombre complexe d'être tracé comme un point.
- Fonction atan2
- Une arctangente à deux arguments, \(\operatorname{atan2}(b, a)\), qui retourne l'angle correct dans tous les quatre quadrants (plage \((-\pi, \pi]\)). Contrairement à la simple \(\arctan(b/a)\), elle utilise les signes de \(a\) et \(b\) pour placer l'angle dans le bon quadrant.
Questions fréquentes
Le module peut-il être négatif ? Non. Comme il s'agit de la racine carrée d'une somme de carrés, le module est toujours nul ou positif.
Et si a et b valent tous les deux zéro ? Dans ce cas, le module est égal à 0 et, par convention, on considère que l'argument vaut également 0.
Quelle est la différence entre le module et l'argument ? Le module indique à quelle distance se trouve le nombre par rapport à l'origine, tandis que l'argument en précise la direction (l'angle) par rapport à l'axe des réels positifs.
