Qu'est-ce que le théorème de la bissectrice ?
Le théorème de la bissectrice est un résultat incontournable de la géométrie euclidienne. Dans un triangle ABC, lorsque la bissectrice de l'angle A coupe le côté opposé BC en un point D, elle partage ce côté en deux segments, BD et DC, dont les longueurs sont proportionnelles aux deux côtés qui forment l'angle ainsi divisé. Autrement dit : \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\). Ce calculateur détermine la longueur exacte de chaque segment dès que vous connaissez les trois mesures concernées.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez la longueur du côté AB (le côté adjacent au sommet B), du côté AC (adjacent au sommet C) et la longueur totale du côté divisé BC. Le calculateur affiche la longueur du segment BD (de B jusqu'au pied de la bissectrice), du segment DC (de D à C), ainsi que le rapport de proportionnalité AB:AC. La somme de BD et DC est toujours égale à BC.
La formule expliquée
Comme la bissectrice partage BC selon le rapport des côtés adjacents, on pose
$$BD = \text{BC} \cdot \frac{\text{AB}}{\text{AB} + \text{AC}} \qquad DC = \text{BC} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AB} + \text{AC}}$$Ces deux expressions découlent directement de la proportion \(\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) combinée à l'égalité \(BD + DC = BC\). À noter : la longueur de la bissectrice elle-même n'intervient pas — seuls les deux côtés adjacents fixent le rapport.
Exemple résolu
Supposons \(AB = 8\), \(AC = 4\) et \(BC = 9\). La somme \(AB + AC = 12\). On obtient alors
$$BD = \frac{9 \times 8}{12} = 6 \qquad DC = \frac{9 \times 4}{12} = 3$$Vérification : \(6 + 3 = 9 = BC\), et le rapport \(6:3 = 2:1\) correspond bien à \(AB:AC = 8:4 = 2:1\). La bissectrice coupe le côté plus près du côté adjacent le plus court.
Divisions de segments sur différents triangles
Le théorème de la bisectrice d'angle divise le côté opposé \(BC\) en deux parties, \(BD\) et \(DC\), dont les longueurs suivent le rapport des deux côtés adjacents \(AB:AC\). Lorsque les deux côtés adjacents sont égaux, la bisectrice arrive exactement au milieu ; plus les côtés sont asymétriques, plus le pied \(D\) est repoussé vers le côté plus court. Le tableau ci-dessous traite trois cas représentatifs.
| Cas | AB | AC | BC | BD | DC | AB : AC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Équilibré (isocèle) | 6 | 6 | 10 | 5 | 5 | 1 : 1 |
| Modéré | 8 | 4 | 9 | 6 | 3 | 2 : 1 |
| Asymétrique | 10 | 2 | 6 | 5 | 1 | 5 : 1 |
Vérification détaillée pour le cas modéré : avec \(AB = 8\), \(AC = 4\), \(BC = 9\),
$$BD = BC \cdot \frac{AB}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{8}{8 + 4} = 9 \cdot \frac{8}{12} = 6,$$ $$DC = BC \cdot \frac{AC}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{4}{12} = 3.$$Les deux segments s'ajoutent pour donner \(BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC\), et le rapport \(BD:DC = 6:3 = 2:1\) correspond à \(AB:AC = 8:4 = 2:1\), ce qui confirme le théorème.
Termes clés et variables
- Triangle ABC — le triangle dont les trois sommets sont étiquetés \(A\), \(B\) et \(C\). La bisectrice dans cet outil est tracée du sommet \(A\) jusqu'au côté opposé \(BC\).
- Sommet A — le coin d'où est tracée la bisectrice d'angle. L'angle intérieur à \(A\) (angle \(\angle BAC\)) est l'angle divisé en deux moitiés égales.
- Bisectrice d'angle — une droite ou un segment qui divise un angle en deux angles égaux. La bisectrice de \(A\) divise \(\angle BAC\) en deux angles de mesure égale.
- Point D (pied de la bisectrice) — le point où la bisectrice de \(A\) rencontre le côté opposé \(BC\). Il se situe entre \(B\) et \(C\) pour une bisectrice interne.
- Segment BD — la portion du côté \(BC\) du sommet \(B\) au pied \(D\). Elle est proportionnelle au côté adjacent \(AB\).
- Segment DC — la portion du côté \(BC\) du pied \(D\) au sommet \(C\). Elle est proportionnelle au côté adjacent \(AC\). Ensemble \(BD + DC = BC\).
- Rapport AB : AC — le rapport des deux côtés adjacents au sommet \(A\). Le théorème de la bisectrice d'angle établit que \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\), donc ce rapport contrôle directement comment \(BC\) est divisé.
- Bisectrice interne vs. externe — la bisectrice interne divise l'angle intérieur et rencontre \(BC\) entre \(B\) et \(C\) (le cas traité ici). La bisectrice externe divise l'angle extérieur supplémentaire et rencontre la droite \(BC\) en dehors du segment, le divisant extérieurement selon le même rapport \(AB:AC\).
Questions fréquentes
Cela fonctionne-t-il pour la bissectrice extérieure ? Non — cet outil traite la bissectrice intérieure, qui produit une division interne de BC. La bissectrice extérieure, elle, divise BC à l'extérieur du segment.
Et si AB est égal à AC ? Le triangle est alors isocèle en A : la bissectrice atteint le milieu de BC, d'où \(BD = DC\).
Ai-je besoin de la mesure de l'angle ? Non. Le théorème ne dépend que des longueurs des côtés, jamais de la valeur de l'angle.
