À quoi sert ce calculateur de longueur d'arc ?
Cet outil détermine la longueur d'un arc de cercle lorsque vous connaissez le rayon du cercle et l'angle au centre exprimé en degrés. Un arc n'est rien d'autre qu'une portion de la circonférence du cercle : sa longueur est proportionnelle à la fraction du tour complet de 360° que couvre l'angle.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon (\(r\)) dans l'unité de votre choix : centimètres, mètres, pouces, etc. Indiquez ensuite l'angle au centre en degrés (de 0 à 360). Le calculateur vous renvoie la longueur de l'arc dans la même unité que le rayon, accompagnée de l'angle converti en radians et de la circonférence totale, à titre de référence.
La formule expliquée
La circonférence complète d'un cercle vaut \(2\pi r\). Un angle au centre de \(\theta\) degrés couvre \(\theta/360\) du cercle entier ; la longueur de l'arc s'écrit donc :
$$L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$
Comme un cercle complet fait 360°, diviser votre angle par 360 donne la fraction de la circonférence que représente l'arc.
Exemple concret
Imaginons \(r = 10\) et un angle au centre de 90° (soit un quart de cercle). On obtient alors $$L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = 0{,}25 \times 62{,}8319 = 15{,}708 \text{ unités}.$$ L'angle en radians vaut \(90 \times \frac{\pi}{180} = 1{,}5708\) et la circonférence totale est de \(62{,}832\).
Longueurs d'arc courantes selon l'angle
Le tableau ci-dessous utilise un cercle unitaire (rayon \(r=1\)). La longueur d'arc est calculée avec \(L=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r\). Pour tout autre rayon, multipliez simplement la colonne « en multiple de r » par votre rayon.
| Angle (degrés) | Radians | Longueur d'arc (multiple de r) | Longueur d'arc (décimal, r=1) | Fraction de cercle |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\pi}{6}\,r\) | 0.5236 | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\pi}{4}\,r\) | 0.7854 | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\pi}{3}\,r\) | 1.0472 | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | \(\tfrac{\pi}{2}\,r\) | 1.5708 | 1/4 |
| 120° | \(2\pi/3\) | \(\tfrac{2\pi}{3}\,r\) | 2.0944 | 1/3 |
| 180° | \(\pi\) | \(\pi\,r\) | 3.1416 | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2\) | \(\tfrac{3\pi}{2}\,r\) | 4.7124 | 3/4 |
| 360° | \(2\pi\) | \(2\pi\,r\) | 6.2832 | 1 (cercle complet) |
Termes clés
- Arc — une portion continue du bord du cercle (circonférence). Sa longueur \(L\) est ce que cette calculatrice trouve à partir du rayon et de l'angle au centre.
- Angle au centre (θ) — l'angle, mesuré en degrés ici, formé au centre du cercle par les deux rayons qui délimitent l'arc. Un plus grand \(\theta\) balaie un arc plus long ; à 360°, l'arc devient la circonférence entière.
- Rayon (r) — la distance du centre à tout point du cercle. La longueur d'arc varie directement avec \(r\) : doubler le rayon et l'arc pour le même angle double.
- Radian — l'angle qui sous-tend un arc d'une longueur égale au rayon. Comme \(360^\circ = 2\pi\) radians, la conversion en radians donne la forme compacte \(L = r\theta_{\text{rad}}\).
- Circonférence — la longueur d'arc du cercle complet, \(C = 2\pi r\). Chaque longueur d'arc est une fraction \(\theta/360\) de cette valeur.
- Corde — la ligne droite reliant les deux extrémités de l'arc. Elle est toujours plus courte que l'arc qu'elle s'étend et n'est pas la même que la longueur d'arc.
- Secteur — la région en « tranche de tarte » délimitée par l'arc et ses deux rayons. L'arc en est la limite courbe ; son aire est \(\tfrac{\theta}{360}\pi r^2\).
Questions fréquentes
Dans quelle unité s'exprime la longueur d'arc ? Dans la même unité que le rayon saisi. Si \(r\) est en mètres, la longueur d'arc est en mètres.
L'angle peut-il dépasser 360° ? Cet outil limite l'angle à une plage de 0 à 360°. Pour des angles supérieurs à un tour complet, retranchez d'abord les multiples de 360°.
Comment obtenir plutôt la longueur de la corde ? La corde (le segment droit reliant les deux extrémités de l'arc) vaut \(2r \times \sin(\theta/2)\), une valeur différente de la longueur de l'arc courbe.
