Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique est une liste de nombres dans laquelle chaque terme augmente (ou diminue) d'une valeur constante appelée la raison, notée \(d\). À partir d'un premier terme \(a_1\), chaque terme suivant s'obtient en ajoutant \(d\). Ce calculateur détermine instantanément le terme de rang \(n\) (\(a_n\)) ainsi que la somme des \(n\) premiers termes (\(S_n\)) à partir de trois valeurs.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le premier terme \(a_1\), la raison \(d\) (positive pour une suite croissante, négative pour une suite décroissante) et le rang \(n\) que vous souhaitez atteindre. Cliquez sur « Calculer » pour afficher la valeur de \(a_n\) ainsi que la somme cumulée \(S_n\) de tous les termes, de \(a_1\) jusqu'à \(a_n\).
La formule expliquée
Le terme de rang \(n\) se calcule avec $$a_n = a_1 + (n - 1)d,$$ car on ajoute la raison \((n - 1)\) fois après le premier terme. La somme partielle repose sur l'astuce de regroupement attribuée à Gauss : $$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n),$$ c'est-à-dire la moyenne du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes.
Exemple résolu
Prenons \(a_1 = 2\), \(d = 3\) et \(n = 10\). Le 10ᵉ terme vaut $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29.$$ La somme des 10 premiers termes est $$S_n = \frac{10}{2} \times (2 + 29) = 5 \times 31 = 155.$$
Comparaison de suites arithmétiques dans différents scénarios
Les deux résultats clés d'une suite arithmétique sont le n-ième terme \(a_n = a_1 + (n-1)d\) et la somme partielle \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Le tableau ci-dessous applique ces formules à plusieurs ensembles d'entrées réalistes, incluant une différence commune positive, une différence négative (décroissante) et un pas fractionnaire.
| Premier terme \(a_1\) | Différence commune \(d\) | Termes \(n\) | n-ième terme \(a_n\) | Somme \(S_n\) | Aperçu de la suite |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
Remarquez comment une \(d\) négative produit une suite décroissante, et comment la somme peut rester positive même si les termes ultérieurs deviennent négatifs, tant que les premiers termes l'emportent.
Termes clés et variables
- Premier terme \(a_1\)
- La valeur initiale de la suite — la valeur à la position \(n = 1\). Chaque autre terme est construit en ajoutant répétitivement la différence commune à celui-ci.
- Différence commune \(d\)
- La quantité fixe ajoutée d'un terme au suivant : \(d = a_{n} - a_{n-1}\). Une \(d\) positive donne une suite croissante, une \(d\) négative une suite décroissante, et \(d = 0\) une suite constante.
- n-ième terme \(a_n\)
- La valeur du terme à la position \(n\), trouvée directement avec \(a_n = a_1 + (n-1)d\) sans lister chaque terme entre les deux.
- Somme partielle \(S_n\)
- La somme des \(n\) premiers termes, \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Elle apparie le premier et le dernier termes et multiplie par le nombre de paires.
- Position du terme \(n\)
- Un indice entier positif vous indiquant quel terme vous voulez (1er, 2e, 3e, …). Il correspond aussi au nombre de termes en cours de sommation dans \(S_n\).
- Suite arithmétique vs. série
- Une suite est la liste ordonnée de termes (5, 7, 9, …) ; une série est ce que vous obtenez en additionnant ces termes. \(a_n\) décrit la suite, tandis que \(S_n\) est la valeur de la série finie correspondante.
Comment le calculer à la main
Utilisez cette procédure pour trouver à la fois le n-ième terme et la somme à partir des trois entrées \(a_1\), \(d\) et \(n\). Nous allons suivre l'exemple \(a_1 = 5\), \(d = 2\), \(n = 8\) à travers chaque étape.
- Identifiez \(a_1\), \(d\) et \(n\). Lisez le premier terme, l'étape constante entre les termes, et la position dont vous avez besoin. Ici \(a_1 = 5\), \(d = 2\) et \(n = 8\).
- Calculez le n-ième terme. Substituez dans \(a_n = a_1 + (n-1)d\) :
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\). - Calculez la somme partielle. Substituez \(a_1\), \(a_n\) et \(n\) dans \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) :
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\). - Vérifiez le résultat. Lister les termes donne 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — le dernier est \(a_8 = 19\) et ils totalisent 96, confirmant \(S_8\).
Si vous avez besoin uniquement de la somme et que vous préférez travailler à partir de \(a_1\) et \(d\), la forme combinée \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) donne la même réponse en une ligne : \(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\).
FAQ
La raison \(d\) peut-elle être négative ? Oui. Une raison négative produit une suite décroissante, et les formules restent rigoureusement valables.
Que représente \(S_n\) ? C'est le total de tous les termes, de \(a_1\) jusqu'à \(a_n\) inclus — une somme partielle (finie), et non une série infinie.
Et si \(n = 1\) ? Dans ce cas \(a_n = a_1\) et \(S_n = a_1\), puisqu'il n'y a qu'un seul terme.
