Qu'est-ce que le calculateur de somme d'une série arithmétique ?
Une série arithmétique correspond à la somme des termes d'une suite arithmétique — une liste de nombres dans laquelle chaque terme augmente (ou diminue) d'une même valeur constante, appelée la raison. Ce calculateur additionne les n premiers termes d'une telle série à partir du premier terme, de la raison et du nombre de termes que vous souhaitez inclure.
Comment l'utiliser
Saisissez le premier terme a₁, la raison d (positive pour une suite croissante, négative pour une suite décroissante) et le nombre de termes n. Le calculateur affiche la somme totale Sₙ, le dernier terme aₙ et confirme le nombre de termes.
La formule expliquée
La somme se calcule ainsi :
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$Le principe : en associant le premier et le dernier terme, on obtient toujours le même total, et il existe \(n/2\) paires de ce type. Le dernier terme vaut \(a_n = a_1 + (n - 1)d\), ce qui donne une forme équivalente : \(S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)\).
Exemple résolu
Supposons \(a_1 = 2\), \(d = 3\) et \(n = 5\). Les termes sont 2, 5, 8, 11, 14. En appliquant la formule :
$$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2{,}5 \cdot (4 + 12) = 2{,}5 \cdot 16 = 40$$En additionnant directement : \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
Plus d'exemples résolus
Les deux formes équivalentes de la somme de la série arithmétique sont :
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{et}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$La deuxième forme est pratique lorsque vous connaissez déjà (ou calculez d'abord) le dernier terme \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Exemple 1 — Série décroissante avec d négatif
Une série commence à \(a_1 = 40\), diminue de \(d = -3\) à chaque étape, et a \(n = 10\) termes.
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$La somme est 265. (Le 10e terme est \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\), donc les termes vont 40, 37, 34, … , 13.)
Exemple 2 — Cas avec grand n
Additionnez les premiers \(n = 100\) termes de la série avec \(a_1 = 5\) et \(d = 4\).
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$La somme est 20300.
Exemple 3 — Utilisation de la forme \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
Une série a \(a_1 = 7\), \(d = 5\), et \(n = 20\). Trouvez d'abord le dernier terme :
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$Puis appliquez la forme moyenne des extrémités :
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$La somme est 1090. Cela correspond à la forme développée \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\).
FAQ
Que se passe-t-il si d vaut 0 ? Tous les termes sont égaux à a₁ : la somme vaut alors simplement \(n \times a_1\).
La raison d peut-elle être négative ? Oui. Une raison négative donne une série décroissante, et la formule reste parfaitement valable.
Quelle est la différence entre une suite et une série ? Une suite est la liste ordonnée des nombres ; une série est la somme de ces nombres.
