समांतर श्रेणी क्या है?

समांतर श्रेणी (Arithmetic Sequence) संख्याओं की ऐसी सूची होती है जिसमें हर पद एक निश्चित मात्रा से बढ़ता (या घटता) है, इस निश्चित मात्रा को सार्व अंतर (common difference) $d$ कहते हैं। पहले पद $a_1$ से शुरू करके हर अगले पद में $d$ जुड़ता जाता है। यह कैलकुलेटर सिर्फ़ तीन जानकारियों से किसी श्रेणी का $n$वाँ पद ($a_n$) और पहले $n$ पदों का योग ($S_n$) पल भर में निकाल देता है।

संख्या रेखा जिसमें समान दूरी पर बिंदु एक समांतर श्रेणी बनाते हैं, जिनके बीच स्थिर अंतर d है — हर पद समान सार्व अंतर $d$ से बढ़ता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पहला पद $a_1$, सार्व अंतर $d$ (बढ़ती श्रेणी के लिए धनात्मक, घटती श्रेणी के लिए ऋणात्मक) और वह पद संख्या $n$ डालें जहाँ तक आप पहुँचना चाहते हैं। "Calculate" दबाते ही $a_n$ का मान और $a_1$ से $a_n$ तक के सभी पदों का संचयी योग $S_n$ दिख जाएगा।

सूत्र की पूरी समझ

$n$वाँ पद इस सूत्र से निकलता है: $$a_n = a_1 + \left(n - 1\right)d$$ क्योंकि पहले पद के बाद आपको सार्व अंतर $(n - 1)$ बार जोड़ना पड़ता है। आंशिक योग के लिए वही तरकीब काम आती है जिसे गॉस (Gauss) ने खोजा था — पदों को जोड़ियों में बाँटना: $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ यानी पहले और आख़िरी पद का औसत, पदों की कुल संख्या से गुणा।

योग सूत्र को दर्शाने के लिए श्रेणी के पहले और अंतिम पद को जोड़ता आरेख — दोनों सिरों के पदों को जोड़ने से योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $a_1 = 2$, $d = 3$ और $n = 10$ है। तब 10वाँ पद होगा $$a_n = 2 + \left(10 - 1\right)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ और पहले 10 पदों का योग होगा $$S_n = \frac{10}{2}\left(2 + 29\right) = 5 \times 31 = 155$$

विभिन्न परिस्थितियों में अंकगणितीय अनुक्रमों की तुलना

अंकगणितीय अनुक्रम के दो मुख्य आउटपुट हैं वां पद $a_n = a_1 + (n-1)d$ और आंशिक योग $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$। नीचे दी गई तालिका इन सूत्रों को कई यथार्थवादी इनपुट सेटों पर लागू करती है, जिसमें एक सकारात्मक सामान्य अंतर, एक नकारात्मक (घटता हुआ) अंतर, और एक भिन्नात्मक चरण शामिल है।

पहला पद $a_1$	सामान्य अंतर $d$	पद $n$	वां पद $a_n$	योग $S_n$	अनुक्रम पूर्वावलोकन
5	2	8	19	96	5, 7, 9, …, 19
10	-3	6	-5	15	10, 7, 4, …, -5
0	0.5	20	9.5	95	0, 0.5, 1, …, 9.5
100	-10	11	0	550	100, 90, 80, …, 0
1	1	100	100	5050	1, 2, 3, …, 100

ध्यान दें कि एक नकारात्मक $d$ एक घटते हुए अनुक्रम का उत्पादन करता है, और कैसे योग सकारात्मक रह सकता है यहां तक कि जब बाद के पद नकारात्मक हो जाएं, जब तक कि प्रारंभिक पद उन्हें पार कर जाएं।

मुख्य शब्द और चर

पहला पद $a_1$: अनुक्रम का प्रारंभिक मान — स्थिति $n = 1$ पर मान। हर दूसरा पद इसमें सामान्य अंतर को बार-बार जोड़कर बनाया जाता है।
सामान्य अंतर $d$: एक पद से अगले पद तक जोड़ी जाने वाली निर्धारित राशि: $d = a_{n} - a_{n-1}$। एक सकारात्मक $d$ एक बढ़ते हुए अनुक्रम को देता है, एक नकारात्मक $d$ एक घटते हुए को, और $d = 0$ एक स्थिर अनुक्रम को।
वां पद $a_n$: स्थिति $n$ पर पद का मान, बीच के हर पद को सूचीबद्ध किए बिना सीधे $a_n = a_1 + (n-1)d$ से पाया जाता है।
आंशिक योग $S_n$: पहले $n$ पदों का योग, $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$। यह पहले और अंतिम पदों को जोड़ता है और जोड़ी की संख्या से गुणा करता है।
पद की स्थिति $n$: एक सकारात्मक पूर्णांक सूचकांक जो आपको बताता है कि आप कौन सा पद चाहते हैं (1 , 2 , 3 , …)। यह $S_n$ में योग किए जाने वाले पदों की संख्या के बराबर है।
अंकगणितीय अनुक्रम बनाम श्रेणी: एक अनुक्रम पदों की क्रमित सूची है (5, 7, 9, …); एक श्रेणी वह है जो आप इन पदों को जोड़ने पर प्राप्त करते हैं। $a_n$ अनुक्रम का वर्णन करता है, जबकि $S_n$ संबंधित परिमित श्रेणी का मान है।

इसे हाथ से कैसे गणना करें

इस प्रक्रिया का उपयोग करके तीन इनपुटों $a_1$, $d$, और $n$ से वां पद और योग दोनों खोजें। हम उदाहरण $a_1 = 5$, $d = 2$, $n = 8$ को प्रत्येक चरण से गुजारेंगे।

$a_1$, $d$, और $n$ की पहचान करें। पहला पद, पदों के बीच स्थिर चरण, और आवश्यक स्थिति पढ़ें। यहां $a_1 = 5$, $d = 2$, और $n = 8$।
वां पद की गणना करें। $a_n = a_1 + (n-1)d$ में प्रतिस्थापित करें:
$a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19$।
आंशिक योग की गणना करें। $a_1$, $a_n$, और $n$ को $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ में प्रतिस्थापित करें:
$S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96$।
परिणाम की जांच करें। पदों को सूचीबद्ध करने से 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 मिलता है — अंतिम $a_8 = 19$ है और वे कुल 96 हैं, जो $S_8$ की पुष्टि करता है।

यदि आपको केवल योग चाहिए और आप पहले से ही $a_1$ और $d$ से काम करना पसंद करते हैं, तो संयुक्त रूप $S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)$ एक पंक्ति में समान उत्तर देता है: $S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96$।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या $d$ ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक सार्व अंतर से घटती हुई श्रेणी बनती है, और दोनों सूत्र इसमें भी बिल्कुल सही काम करते हैं।

$S_n$ किसका प्रतिनिधित्व करता है? यह $a_1$ से लेकर $a_n$ तक ($a_n$ सहित) सभी पदों का कुल योग है — यानी एक आंशिक (सीमित) योग, कोई अनंत श्रेणी नहीं।

अगर $n = 1$ हो तो? तब $a_n = a_1$ और $S_n = a_1$ होगा, क्योंकि श्रेणी में सिर्फ़ एक ही पद है।

Sum of first n terms (S_n)	15
पहला पद (a₁)	10
सार्व अंतर (d)	-3
पद संख्या (n)	6

समांतर श्रेणी कैलकुलेटर

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सूत्र (फॉर्मूला)

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