समांतर श्रेणी योग कैलकुलेटर क्या है?
समांतर श्रेणी (Arithmetic Series) किसी समांतर अनुक्रम के पदों का योग होती है — यानी संख्याओं की ऐसी सूची जिसमें हर पद पिछले पद से एक निश्चित मात्रा बढ़ता (या घटता) है। इस निश्चित मात्रा को सार्व अंतर (common difference) कहते हैं। यह कैलकुलेटर पहला पद, सार्व अंतर और पदों की संख्या के आधार पर ऐसी श्रेणी के पहले n पदों का योग निकाल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहला पद a₁, सार्व अंतर d (बढ़ती श्रेणी के लिए धनात्मक, घटती श्रेणी के लिए ऋणात्मक) और पदों की संख्या n दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको कुल योग Sₙ, अंतिम पद aₙ और पदों की संख्या की पुष्टि देगा।
सूत्र को समझें
योग निकालने का सूत्र है:
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n - 1)d\right)$$
इसके पीछे की सोच यह है: पहले और अंतिम पद को जोड़ने पर हमेशा एक ही योग मिलता है, और ऐसे कुल \(n/2\) जोड़े बनते हैं। अंतिम पद \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) होता है, इसलिए इसका एक समतुल्य रूप यह भी है: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a_1 = 2\), \(d = 3\) और \(n = 5\)। तब पद होंगे — 2, 5, 8, 11, 14। सूत्र का प्रयोग करें: $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot2 + (5-1)\cdot3\right) = 2.5 \cdot (4 + 12) = 2.5 \cdot 16 = \mathbf{40}$$ सीधे जोड़कर देखें: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\)। ✔
अधिक कार्य किए गए उदाहरण
समांतर श्रेणी के योग के दो समतुल्य रूप हैं:
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{और}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$दूसरा रूप तब सुविधाजनक है जब आप पहले से ही अंतिम पद को जानते हैं (या पहले से गणना करते हैं) \(a_n = a_1 + (n-1)d\)।
उदाहरण 1 — नकारात्मक d के साथ घटती श्रेणी
एक श्रेणी \(a_1 = 40\) से शुरू होती है, प्रत्येक चरण में \(d = -3\) से घटती है, और इसमें \(n = 10\) पद हैं।
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$योग 265 है। (10वाँ पद \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\) है, इसलिए पद 40, 37, 34, … , 13 चलते हैं।)
उदाहरण 2 — बड़े-n मामला
श्रेणी के पहले \(n = 100\) पदों का योग करें जहाँ \(a_1 = 5\) और \(d = 4\) हैं।
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$योग 20300 है।
उदाहरण 3 — \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) रूप का उपयोग करना
एक श्रेणी में \(a_1 = 7\), \(d = 5\), और \(n = 20\) हैं। पहले अंतिम पद ज्ञात करें:
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$फिर अंत बिंदुओं के औसत वाले रूप को लागू करें:
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$योग 1090 है। यह विस्तृत रूप \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\) से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर d शून्य (0) हो तो? तब हर पद a₁ के बराबर होगा, इसलिए योग सीधे-सीधे \(n \times a_1\) होगा।
क्या d ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक सार्व अंतर से घटती हुई श्रेणी बनती है, और सूत्र फिर भी सही ढंग से काम करता है।
अनुक्रम और श्रेणी में क्या अंतर है? अनुक्रम (sequence) संख्याओं की क्रमबद्ध सूची होती है, जबकि श्रेणी (series) उन्हीं संख्याओं का योग होती है।
