弧長計算ツールとは？
このツールは、円の半径と中心角（度数法で測った角度）が分かっているときに、円弧の長さを求める計算機です。弧とは円周の一部分のこと。その長さは、角度が360°のうちどれだけの割合を占めるかに比例して決まります。
使い方
まず半径（r）を入力します。単位は自由で、センチメートル・メートル・インチなど何でも構いません。次に中心角を度数（0〜360）で入力してください。計算結果として、半径と同じ単位での弧長に加え、角度をラジアンに換算した値と、参考用の円周の長さが表示されます。
計算式の解説
円周の長さは \(2\pi r\) で求められます。中心角が \(\theta\) 度のとき、その弧は円全体の \(\theta/360\) を占めるので、弧長は次の式で計算できます。
$$L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$
1周は360°なので、入力した角度を360で割れば、その弧が円周のどれだけの割合に当たるかが分かるというわけです。
計算例
たとえば \(r = 10\)、中心角が 90°（4分の1の円）の場合を考えてみましょう。$$L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = 0.25 \times 62.8319 = 15.708 \text{ 単位}$$ となります。角度をラジアンに換算すると \(90 \times \pi/180 = 1.5708\)、円周の長さは \(62.832\) です。
角度による一般的な弧長
以下の表は単位円（半径 \(r=1\)）を使用しています。弧長は \(L=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r\) で計算されます。他の半径の場合は、「r の倍数」列にお使いの半径を掛けてください。
| 角度（度数法） | ラジアン | 弧長（r の倍数） | 弧長（小数、r=1） | 円に占める割合 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\pi}{6}\,r\) | 0.5236 | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\pi}{4}\,r\) | 0.7854 | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\pi}{3}\,r\) | 1.0472 | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | \(\tfrac{\pi}{2}\,r\) | 1.5708 | 1/4 |
| 120° | \(2\pi/3\) | \(\tfrac{2\pi}{3}\,r\) | 2.0944 | 1/3 |
| 180° | \(\pi\) | \(\pi\,r\) | 3.1416 | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2\) | \(\tfrac{3\pi}{2}\,r\) | 4.7124 | 3/4 |
| 360° | \(2\pi\) | \(2\pi\,r\) | 6.2832 | 1（完全な円） |
重要用語
- 弧 — 円の辺（円周）の連続部分。その長さ \(L\) は、この計算機が半径と中心角から求めるものです。
- 中心角（θ） — 弧の両端を結ぶ2つの半径によって円の中心で形成される角度で、ここでは度数法で測定されます。\(\theta\) が大きいほど長い弧を掃き、360° のときその弧は円周全体になります。
- 半径（r） — 中心から円上の任意の点までの距離。弧長は \(r\) に比例します：半径を2倍にすると、同じ角度の弧も2倍になります。
- ラジアン — 半径と等しい長さの弧に対応する角度。\(360^\circ = 2\pi\) ラジアンであるため、ラジアンに変換するとコンパクトな形 \(L = r\theta_{\text{rad}}\) が得られます。
- 円周 — 完全な円の弧長で、\(C = 2\pi r\) です。すべての弧長はこの値の \(\theta/360\) 倍です。
- 弦 — 弧の両端を結ぶ直線。常に弧より短く、弧長と同じではありません。
- 扇形 — 弧とその2つの半径に囲まれた「円パイ」形領域。弧はその曲線の境界で、面積は \(\tfrac{\theta}{360}\pi r^2\) です。
よくある質問
弧長の単位は何になりますか？ 入力した半径と同じ単位になります。r をメートルで入力した場合、弧長もメートルで表示されます。
角度は360°より大きく設定できますか？ このツールでは角度を0〜360°に制限しています。1周を超える角度の場合は、あらかじめ360°の倍数を引いてから入力してください。
弦の長さを求めたいときは？ 弦（弧の両端を結ぶ直線）の長さは \(2r \times \sin(\theta/2)\) で求められ、曲線である弧長とは異なる値になります。
