二項係数とは？
二項係数は \(C(n, k)\) または「nCk（nからk個を選ぶ）」と書き、n個の要素からなる集合の中から、順序を考えずにk個を選ぶときの選び方が何通りあるかを表す数です。組み合わせ論の最も基本的な量のひとつで、確率・統計・代数の幅広い分野に登場します。二項定理やパスカルの三角形、二項分布などにも欠かせない概念です。
このツールの使い方
全体の個数 n と、その中から選ぶ個数 k を入力すれば、結果がすぐに表示されます。入力できるのは \(0 \le k \le n\) を満たす整数のみです。k が n より大きい場合は、存在する数より多くを選ぶことはできないため、係数は 0 になります。
公式の解説
二項係数を定義する式は $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ で、「!」は階乗を表します。途中で巨大な階乗が発生するのを避けるため、このツールは効率的な「乗算形式」を採用しています。具体的には、\(n - k + 1\) から \(n\) までを掛け合わせ、同時に \(1\) から \(k\) までで順に割っていきます。さらに対称性 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}\) を利用することで、計算の繰り返し回数を最小限に抑えています。
計算例
10枚のカードから3枚の組を作るとき、何通りの手札ができるでしょうか。$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}$$ つまり、組み合わせは全部で120通りあります。
パスカルの三角形参照表
パスカルの三角形の各項は二項係数\(\binom{n}{k}\)です。行\(n\)は左側の\(k=0\)から右側の\(k=n\)までの値を列記します。すべての内部値は、その直上の2つの値の合計に等しいため、\(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\)です。以下の行は\(n=0\)から\(n=10\)までを対象としており、小さい係数を直接読み取ることができます。
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
対称性に注目してください。各行は前後で同じに読めます。これは\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)だからです。行\(n\)のすべての合計は\(2^{n}\)に等しくなります—たとえば、行10の合計は\(2^{10}=1024\)です。
さらなる実例
これらの例は\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)への完全な代入を示しており、各結果は簡単に検証できます。
例1—ポーカーハンド：C(52,5)
52枚のカードデッキから配られた5枚のカードの異なる組み合わせは何通りか？順序は重要ではないため、二項係数を使用します。
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
これは2,598,960通りの可能な5枚のポーカーハンドを与えます。
例2—境界の場合 C(6,6)
6つの項目セットからすべての6つの項目を選択することは、正確に1つの方法で行うことができます—すべてを保持すること。\(k=n=6\)を代入します：
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
これは慣例\(0!=1\)に依存しています。同じロジックは任意の\(n\)に対して\(\binom{n}{0}=1\)を与えます：何も選択しない方法は正確に1つです。したがって1です。
例3—対称性：C(8,2) = C(8,6)
恒等式\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)は、\(k\)個の項目を含めることを選択することは、除外する\(n-k\)個の項目を選択することと等価であることを意味します。\(n=8\)の場合、両辺を計算します：
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
両方とも28に等しく、対称性の性質を確認しています。8から保持する2を選択することは、破棄する6を選択することと同じ数です。
よくある質問
順序は関係しますか？ いいえ、関係しません。順序を区別する選び方（順列）を求めたい場合は、代わりに \(\frac{n!}{(n-k)!}\) を使ってください。
C(n, 0) はいくつですか？ 常に1です。「何も選ばない」という選び方がちょうど1通りだけ存在するからです。
k > n の場合は？ 結果は0です。存在する数より多くの要素を選ぶことはできません。
