이 조합 계산기(nCr)는 서로 다른 원소로 이루어진 집합에서 표본 크기만큼을 고를 때 나오는 경우의 수를 계산해 줍니다. 여기서는 순서를 고려하지 않으며 중복도 허용하지 않습니다. 확률과 통계는 물론 다양한 분야의 조합과 순열 문제를 풀 때 안성맞춤입니다.
조합이란?
조합론에서 조합(combination)이란 더 큰 집합에서 원소를 골라낼 때 순서를 따지지 않는 방식을 말합니다. 이는 순서가 중요한 순열(permutation)과 구별되는 개념입니다.
조합 공식은 다음과 같습니다.
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$각 기호의 의미는 다음과 같습니다.
- \(n\) = 집합에 들어 있는 전체 원소의 개수
- \(r\) = 표본 크기, 즉 골라내는 원소의 개수
- \(!\) = 팩토리얼
이 계산기는 중복을 허용하지 않는 조합을 계산합니다. 즉, 하나의 조합 안에서 같은 원소는 한 번만 선택됩니다.
이런 경우에 활용하세요
- 많은 후보 중에서 당첨자 그룹을 뽑을 때
- 순서가 중요하지 않은 상황에서 카드 한 벌에서 카드를 고를 때
- 조합과 순열이 얽힌 통계 문제를 풀 때
- 순열이 아니라 조합만 필요할 때 경우의 수를 정확히 구할 때
사용 방법
- 원소의 개수(n) 입력: 집합에 들어 있는 전체 개수를 입력합니다.
- 표본 크기(r) 입력: 그중에서 몇 개를 고를지 정합니다.
- 계산하기 클릭: 계산기가 조합 공식을 적용해 결과를 산출합니다.
- 결과 확인: 순서를 고려하지 않을 때
n개 중에서r개를 고르는 방법이 몇 가지인지 확인할 수 있습니다.
계산 예시
10개의 원소 중에서 3개를 고른다고 가정해 봅시다.
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$따라서 10개 중에서 3개를 고르는 조합은 120가지입니다.
자주 묻는 질문
1. 조합과 순열의 차이는 무엇인가요?
조합은 순서가 중요하지 않을 때 사용하고, 순열은 순서가 중요할 때 사용합니다. 예를 들어 팀원을 선발하는 것은 조합이고, 각자에게 역할을 배정하는 것은 순열입니다.
2. 중복을 허용한 조합도 계산할 수 있나요?
이 계산기는 중복을 허용하지 않는 조합을 위한 것입니다. 중복을 허용하려면 다른 공식인 n+r-1Cr을 사용해야 합니다.
3. 표본 크기가 전체 원소 개수보다 크면 어떻게 되나요?
집합에 있는 것보다 더 많은 원소를 고를 수는 없습니다. r > n인 경우 조합은 수학적으로 정의되지 않습니다.
일반적인 값에 대한 nCr 참조표
아래 표는 작은 \(n\) 값(1부터 10까지)에 대한 \(C(n, r)\)을 모든 유효한 \(r\) 선택(0부터 \(n\)까지)에 걸쳐 나타냅니다. 이것이 잘 알려진 파스칼의 삼각형입니다: 각 내부 값은 그 위의 두 값을 더한 것과 같고, 각 행은 \(C(n, r) = C(n, n-r)\)이기 때문에 대칭입니다. 행 \(n\)과 열 \(r\)이 만나는 곳에서 값을 읽습니다.
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) (아무것도 선택하지 않는 방법은 정확히 하나, 모든 것을 선택하는 방법도 하나)이고 \(C(n, 1) = n\) (단일 항목을 선택하는 방법은 \(n\)가지)입니다.
더 많은 풀이 예제
각 예제는 값들을 조합 공식 \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)에 직접 대입합니다. 여기서 순서는 중요하지 않습니다.
-
포커 패 — 52개 중 5개 선택. 표준 카드 덱에는 52장의 카드가 있고 포커 패는 순서를 고려하지 않고 뽑은 5장의 카드입니다:
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$이는 2,598,960개의 서로 다른 5장 패를 제공합니다.
-
모두 선택 — 6개 중 6개 선택. 모든 항목을 선택해야 할 때 가능한 그룹은 하나뿐입니다:
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$\(0! = 1\)이라는 관례를 사용합니다. 따라서 \(C(6, 6) = \) 1입니다.
-
아무것도 선택하지 않음 — 8개 중 0개 선택. 집합에서 아무것도 선택하지 않는 방법은 정확히 하나입니다(공 선택):
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$따라서 \(C(8, 0) = \) 1입니다.
-
위원회 — 10개 중 3개 선택. 10명의 후보자 중에서 3명 위원회를 선택합니다(직책이 구분되지 않음):
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$가능한 위원회는 120개입니다. 직책이 구분된다면 (회장, 비서, 회계), 순서가 중요하고 대신 순열 720을 계산할 것입니다.
주요 용어 및 정의
- 조합
- 더 큰 집합에서 항목을 선택하되 선택 순서가 중요하지 않은 경우입니다. \(n\)개 중에서 \(r\)개의 조합 개수는 \(C(n, r)\), \(\binom{n}{r}\), 또는 "n개 중 r개"로 표기합니다.
- 순열
- 항목의 순서가 있는 배열입니다. 순서가 중요하기 때문에 순열은 항상 조합 이상입니다: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\). 예를 들어, \{A, B\}와 \{B, A\}는 하나의 조합이지만 두 개의 순열로 계산됩니다.
- n (집합 크기)
- 선택할 수 있는 서로 다른 항목의 총 개수 — 전체 집합의 크기입니다. 공식에서는 \(\binom{n}{r}\)의 위 숫자입니다.
- r (표본 크기)
- 집합에서 선택하는 항목의 개수입니다. \(0 \le r \le n\)을 만족해야 합니다. 공식에서는 \(\binom{n}{r}\)의 아래 숫자입니다.
- 계승 (!)
- 어떤 수까지의 모든 양의 정수의 곱: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\). 정의에 따라 \(0! = 1\)입니다. 계승은 조합 공식 전체에 나타납니다. 예를 들어, \(5! = 120\)입니다.
- "순서가 중요하지 않음"
- 조합의 정의 속성입니다: 같은 항목을 포함하는 두 선택은 그것들이 선택된 순서에 관계없이 동일한 것으로 간주됩니다. 이것이 \(C(n, r)\)이 순서가 있는 개수 \(P(n, r)\)를 \(r!\)로 나누어 중복 배열을 제거하는 이유입니다.
다양한 시나리오에서의 nCr
동일한 조합 공식 \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)은 많은 일상적인 경우의 수 문제를 해결합니다. 조합에서는 순서가 중요하지 않으므로, nCr은 "얼마나 많은 순서가 있는가"보다는 "얼마나 많은 서로 다른 그룹을 만들 수 있는가"라는 질문에 답합니다. 아래 표는 이 계산기로 계산한 여러 현실적인 경우를 다룹니다.
| 시나리오 | n (전체) | r (선택) | nCr | 실제 활용 예시 |
|---|---|---|---|---|
| 소수 짝짓기 | 5 | 2 | 10 | 5명 중에서 2명의 팀원을 선택하는 방법의 수, 또는 5가지 옵션 중 2가지 토핑을 선택하는 방법의 수. |
| 위원회 선출 | 10 | 3 | 120 | 10명의 그룹에서 뽑을 수 있는 3명 소위원회의 가짓수. |
| 6/49 복권 | 49 | 6 | 13,983,816 | 49개 숫자 중 6개를 뽑는 모든 경우의 수 — 한 장의 티켓으로 6개를 모두 맞힐 확률은 1/이 숫자입니다. |
| 포커 핸드 | 52 | 5 | 2,598,960 | 표준 52장 카드 덱에서 뽑을 수 있는 5장 핸드의 가짓수(순서 무관). |
| 피자 토핑 | 8 | 3 | 56 | 8가지 토핑 메뉴에서 3가지를 선택하는 방법의 수(선택 순서는 중요하지 않음). |
포커 경우에 대한 확인 계산: \(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) 만약 순서가 중요하다면, 대신 순열 \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)을 사용하여 훨씬 더 큰 수를 얻을 것입니다.
