Что такое модуль комплексного числа?
Комплексное число записывается в виде \(a + bi\), где a — действительная часть, а b — мнимая. Модуль (его также называют абсолютной величиной или длиной вектора) — это расстояние от начала координат до точки (a, b) на комплексной плоскости. Наш калькулятор вычисляет это расстояние, а заодно определяет аргумент — угол, под которым «направлено» число.
Как пользоваться калькулятором
Введите действительную часть a и мнимую часть b вашего комплексного числа. Калькулятор мгновенно выдаст значение \(|a + bi|\), квадраты компонент a² и b², которые участвуют в расчёте, а также аргумент — сразу в радианах и в градусах.
Разбираем формулу
Модуль находится по формуле $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ По сути, это прямое применение теоремы Пифагора: a и b — это два катета прямоугольного треугольника, а модуль — его гипотенуза. Поскольку оба слагаемых возводятся в квадрат, результат всегда неотрицателен. Аргумент вычисляется через функцию \(\operatorname{atan2}(b, a)\), которая корректно определяет угол в любой из четвертей.
Пример с решением
Возьмём комплексное число \(3 + 4i\). Считаем: \(a^2 = 9\) и \(b^2 = 16\). В сумме получаем 25, а корень из 25 равен 5. Значит, $$|3 + 4i| = 5$$ Аргумент равен \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) радиана, или примерно 53,13°.
Частые вопросы
Может ли модуль быть отрицательным? Нет. Это квадратный корень из суммы квадратов, поэтому модуль всегда равен нулю или положителен.
А что, если и a, и b равны нулю? Тогда модуль равен 0, а аргумент по соглашению принимают равным 0.
Чем модуль отличается от аргумента? Модуль показывает, насколько число удалено от начала координат, а аргумент — это направление (угол), отсчитываемое от положительной действительной оси.
Распространённые комплексные числа и их модули
Модули и аргументы для часто используемых комплексных чисел. Аргументы используют главное значение из \(\operatorname{atan2}(b,a)\), в диапазоне \((-180^\circ, 180^\circ]\).
| \(a+bi\) | Модуль \(|a+bi|\) | Аргумент (радианы) | Аргумент (градусы) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (не определён) | 0° (не определён) |
Примечание: аргумент \(0+0i\) не определён, потому что точка находится в начале координат; в большинстве реализаций по соглашению возвращается 0.
Ключевые термины
- Комплексное число
- Число вида \(a + bi\), где \(a\) и \(b\) — вещественные числа, а \(i\) — мнимая единица, удовлетворяющая условию \(i^2 = -1\).
- Вещественная часть (a)
- Компонента \(a\) числа \(a+bi\), которая лежит на горизонтальной (вещественной) оси комплексной плоскости.
- Мнимая часть (b)
- Вещественный коэффициент \(b\) мнимой единицы в \(a+bi\); он лежит на вертикальной (мнимой) оси. Обратите внимание, что мнимая часть — это число \(b\), а не \(bi\).
- Модуль / абсолютное значение
- Расстояние от начала координат до точки \((a,b)\) на комплексной плоскости, записываемое как \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Оно всегда неотрицательно.
- Аргумент
- Угол \(\theta\) между положительной вещественной осью и линией от начала координат до точки \((a,b)\), измеренный против часовой стрелки. В сочетании с модулем даёт полярную форму \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
- Комплексная плоскость
- Двумерная плоскость (также называемая диаграммой Аргана), в которой горизонтальная ось представляет вещественную часть, а вертикальная ось представляет мнимую часть, что позволяет отобразить каждое комплексное число как точку.
- Функция atan2
- Двухаргументный арктангенс, \(\operatorname{atan2}(b, a)\), который возвращает правильный угол во всех четырёх квадрантах (диапазон \((-\pi, \pi]\)). В отличие от обычного \(\arctan(b/a)\), он использует знаки обоих \(a\) и \(b\) для размещения угла в нужном квадранте.
