Калькулятор суммы арифметической прогрессии

Количество членов (n)	20
Последний член (aₙ)	102

Что такое калькулятор суммы арифметической прогрессии?

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же постоянное число, называемое разностью прогрессии. Сумма арифметической прогрессии — это результат сложения её членов. Данный калькулятор складывает первые n членов такой прогрессии, если известны первый член, разность и количество членов, которые нужно учесть.

Как пользоваться калькулятором

Введите первый член a₁, разность прогрессии d (положительную для возрастающей прогрессии и отрицательную для убывающей) и число членов n. Калькулятор выдаст общую сумму Sₙ, последний член aₙ и подтвердит количество членов.

Разбор формулы

Сумма вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$

Идея проста: если объединить в пары первый и последний члены, второй и предпоследний и так далее, то сумма каждой такой пары будет одинаковой, а всего пар — $n/2$. Последний член находится как $a_n = a_1 + (n - 1)d$, поэтому существует и эквивалентная запись формулы: $S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$.

Объединение первого и последнего членов арифметической прогрессии в пары, показывающее одинаковую сумму каждой пары — Объединение членов с концов в пары объясняет, почему $S_n = \frac{n}{2}(\text{первый} + \text{последний член})$.

Арифметическая прогрессия в виде равномерно расположенных точек на числовой прямой с разностью d — Арифметическая прогрессия складывает члены, возрастающие на постоянную разность $d$.

Пример решения

Пусть $a_1 = 2$, $d = 3$ и $n = 5$. Тогда члены прогрессии: 2, 5, 8, 11, 14. По формуле: $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2{,}5 \cdot (4 + 12) = 2{,}5 \cdot 16 = 40$$ Проверим прямым сложением: $2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$. ✔

Ещё решённые примеры

Две эквивалентные формы суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{и}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$

Вторая форма удобна, когда вы уже знаете (или сначала вычисляете) последний член $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Пример 1 — Убывающая прогрессия с отрицательным d

Прогрессия начинается с $a_1 = 40$, убывает на $d = -3$ на каждом шаге и имеет $n = 10$ членов.

$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$

Сумма равна 265. (10-й член равен $a_{10} = 40 + 9(-3) = 13$, поэтому члены идут 40, 37, 34, … , 13.)

Пример 2 — Случай больших n

Найти сумму первых $n = 100$ членов прогрессии с $a_1 = 5$ и $d = 4$.

$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$

Сумма равна 20300.

Пример 3 — Использование формы $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

Прогрессия имеет $a_1 = 7$, $d = 5$ и $n = 20$. Сначала найти последний член:

$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$

Затем применить форму среднего значения крайних членов:

$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$

Сумма равна 1090. Это совпадает с развёрнутой формой $\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090$.

Часто задаваемые вопросы

Что будет, если d = 0? Все члены прогрессии равны $a_1$, поэтому сумма равна просто $n \times a_1$.

Может ли d быть отрицательной? Да. Отрицательная разность даёт убывающую прогрессию, и формула при этом работает абсолютно так же.

Чем отличается последовательность от прогрессии? Последовательность — это упорядоченный список чисел, а сумма прогрессии (ряд) — это результат сложения этих чисел.