Что такое калькулятор биномиальной вероятности?
Этот калькулятор находит вероятность получить ровно k успехов в n независимых испытаниях, где у каждого испытания одна и та же вероятность успеха p. Биномиальному распределению подчиняются многие реальные ситуации: серия подбрасываний монеты, подсчёт бракованных деталей в партии или количество точных штрафных бросков у баскетболиста.
Как пользоваться калькулятором
Укажите число испытаний (n), интересующее вас число успехов (k) и вероятность успеха в одном испытании (p — значение от 0 до 1). В ответ калькулятор покажет точную вероятность \(P(X = k)\), две накопленные вероятности \(P(X \le k)\) и \(P(X \ge k)\), а также среднее значение и стандартное отклонение распределения.
Разбор формулы
Формула биномиальной вероятности выглядит так:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$Здесь \(C(n,k)\) — биномиальный коэффициент (число способов разместить k успехов среди n испытаний), \(p^{k}\) — вероятность именно этих k успехов, а \((1 - p)^{\,n - k}\) — вероятность остальных n − k неудач. Среднее значение распределения равно \(n \cdot p\), а стандартное отклонение — \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\).
Пример с решением
Допустим, вы подбрасываете симметричную монету 10 раз (n = 10, p = 0,5) и хотите узнать вероятность ровно 3 «орлов» (k = 3). \(C(10,3) = 120\), поэтому $$P = 120 \cdot 0{,}5^{3} \cdot 0{,}5^{7} = 120 \cdot 0{,}0009765625 = \mathbf{0{,}1171875}$$ то есть примерно 11,7 %.
Частые вопросы
Когда можно применять биномиальное распределение? Когда у вас фиксированное число независимых испытаний, в каждом из которых только два исхода (успех или неудача), а вероятность успеха постоянна.
Что означает P(X ≥ k)? Это вероятность получить не менее k успехов — она удобна для вопросов вида «k или больше».
Может ли p быть больше 1? Нет. Вероятность всегда лежит в диапазоне от 0 до 1; значения за его пределами автоматически ограничиваются.
Дополнительные решённые примеры
Каждый пример использует формулу биномиальной вероятности \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), где \(n\) — это количество независимых испытаний, \(p\) — вероятность успеха в каждом испытании, и \(k\) — количество интересующих нас успехов.
Пример 1 — Дефектные товары, P(X ≤ 2)
Партия имеет уровень дефектности \(p = 0.05\). В случайной выборке из \(n = 20\) товаров, какова вероятность того, что не более 2 являются дефектными? Нам нужно \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
Обратите внимание, что \(\binom{20}{2} = 190\). Складываем три слагаемых:
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$Итак, вероятность ровно 2 дефектных товаров составляет примерно 0.188677, а вероятность 2 или менее дефектных примерно 92.5%. Распределение имеет математическое ожидание \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) дефектный товар и стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\).
Пример 2 — Штрафные броски, P(X ≥ 4)
Игрок реализует штрафные броски с вероятностью \(p = 0.8\) и выполняет \(n = 5\) бросков. Какова вероятность реализации не менее 4? Нам нужно \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\).
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
Здесь \(\binom{5}{4} = 5\) и \(\binom{5}{5} = 1\). Суммируя:
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$Игрок реализует не менее 4 бросков из 5 примерно в 73.7% случаев. Ожидаемое количество реализованных бросков равно \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\) со стандартным отклонением \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\). Наиболее вероятный исход — \(P(X = 4) = \)0.4096.
Пример 3 — Ответы на опрос, точное значение
Предположим, 30% людей \((p = 0.3)\) узнают бренд, и вы опрашиваете \(n = 10\) человек. Вероятность того, что ровно 3 узнают его, равна:
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$С \(\binom{10}{3} = 120\), результат составляет \(P(X=3) \approx\) 0.266828. Математическое ожидание равно \(\mu = np = 3\) узнавания, совпадающее с наиболее вероятным количеством, со значением \(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\).
Ключевые термины и переменные
| Символ / Термин | Значение |
|---|---|
| \(n\) — количество испытаний | Фиксированное общее количество независимых повторений эксперимента (например, проверенные товары, выполненные броски). Должно быть неотрицательным целым числом. |
| \(k\) — количество успехов | Конкретное количество успешных исходов, вероятность которого вас интересует, где \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) — вероятность успеха | Вероятность успеха при каждом отдельном испытании, одинаковая для всех испытаний. Значение между 0 и 1. |
| \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи | Вероятность неудачи при отдельном испытании. Поскольку каждое испытание является либо успехом, либо неудачей, \(p + q = 1\). |
| \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент | Количество различных способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний, читается «n выбрать k»: \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). |
| \(P(X = k)\) — точная вероятность | Вероятность получить ровно \(k\) успехов: \(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\). |
| \(P(X \le k)\) — кумулятивная (не более) | Вероятность \(k\) или менее успехов, сумма \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\). |
| \(P(X \ge k)\) — кумулятивная (не менее) | Вероятность \(k\) или более успехов, равная \(1 - P(X \le k-1)\). |
| \(\mu = np\) — математическое ожидание | Ожидаемое (среднее) количество успехов при многократном повторении эксперимента с \(n\) испытаниями. |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — стандартное отклонение | Мера того, насколько количество успехов обычно варьируется вокруг математического ожидания. |
Интерпретация результата
Калькулятор биномиальной вероятности может ответить на три связанных, но различных вопроса, и важно сопоставить результат с вопросом, который вы действительно задали.
- Точная вероятность, \(P(X = k)\): вероятность получить ровно \(k\) успехов — не больше, не меньше. Используйте для вопросов вроде «какова вероятность ровно 3 дефектов?» Поскольку это указывает на единственный исход, это значение обычно меньше, чем кумулятивные вероятности ниже.
- Не более, \(P(X \le k)\): вероятность \(k\) или менее успехов. Она складывает вероятности \(0, 1, \dots, k\). Используйте для фраз типа «не более чем», «не более», или «меньше или равно».
- Не менее, \(P(X \ge k)\): вероятность \(k\) или более успехов. Удобный способ вычисления: \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Используйте для фраз типа «не менее», «не менее чем», или «минимум» успехов.
Внимательно следите за границей: «более чем \(k\)» означает \(P(X \ge k+1)\), а «менее чем \(k\)» означает \(P(X \le k-1)\). Одно слово меняет, какие слагаемые суммируются.
Математическое ожидание \(\mu = np\) — это ожидаемое количество успехов — долгосрочное среднее количество, если вы много раз повторяете весь эксперимент из \(n\) испытаний. Для \(n = 20\) товаров при \(p = 0.05\), вы ожидали бы в среднем \(\mu = 1\) дефект, даже если любая отдельная выборка может содержать 0, 1, 2 или более дефектов. Математическое ожидание также является (близким к) наиболее вероятным единственным исходом, поэтому сравнение вашего \(k\) с \(np\) говорит вам, спрашиваете ли вы о типичном результате или необычном.
Стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) описывает разброс исходов вокруг математического ожидания. Большинство результатов находятся примерно в одном-двух стандартных отклонениях от \(np\). Когда \(k\) находится на несколько стандартных отклонений от математического ожидания, соответствующая вероятность мала, что как раз объясняет, почему события на «хвостах» кажутся неожиданными. Когда \(n\) велико и \(p\) не слишком близко к 0 или 1, биномиальное распределение приблизительно нормально с тем же математическим ожиданием и стандартным отклонением, что позволяет использовать нормальное приближение для кумулятивных вероятностей.
Это общая статистическая информация, чтобы помочь вам прочитать результат; всегда подтверждайте, что ваш сценарий соответствует предположениям биномиального распределения (фиксированное количество независимых испытаний, два исхода на испытание и постоянная вероятность успеха), прежде чем полагаться на результат.
