Açıdan Yay Uzunluğu Hesaplama Aracı nedir?
Bu hesaplama aracı, bir dairenin yarıçapını ve derece cinsinden ölçülen merkez açısını bildiğinizde dairesel yayın uzunluğunu bulur. Yay, dairenin çevresinin yalnızca bir parçasıdır; bu parçanın uzunluğu da açının 360°'lik tam turun ne kadarını kapsadığıyla doğru orantılıdır.
Nasıl kullanılır?
Yarıçapı (\(r\)) dilediğiniz birimde girin — santimetre, metre, inç ya da başka bir birim fark etmez. Ardından merkez açıyı derece cinsinden (0 ile 360 arası) yazın. Hesaplayıcı, yay uzunluğunu yarıçapla aynı birimde verir; ayrıca açının radyan karşılığını ve referans olarak tam çevreyi de gösterir.
Formülün açıklaması
Bir dairenin tam çevresi \(2\pi r\)'dir. \(\theta\) derecelik bir merkez açı, dairenin \(\theta/360\) kadarlık kısmını kapsar; dolayısıyla yay uzunluğu şöyle hesaplanır:
$$L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$
Tam bir daire 360° olduğundan, açıyı 360'a bölmek yayın çevrenin ne kadarını temsil ettiğini verir.
Örnek çözüm
Diyelim ki \(r = 10\) ve merkez açı 90° (çeyrek daire). Bu durumda $$L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = 0{,}25 \times 62{,}8319 = 15{,}708 \text{ birim}$$ olur. Açının radyan değeri \(90 \times \pi/180 = 1{,}5708\), tam çevre ise \(62{,}832\)'dir.
Sık sorulan sorular
Yay uzunluğu hangi birimdedir? Girdiğiniz yarıçapla aynı birimdedir. Yarıçapı metre cinsinden girdiyseniz yay uzunluğu da metre cinsinden çıkar.
Açı 360°'den büyük olabilir mi? Bu araç açıyı 0–360° aralığıyla sınırlandırır. Tam turu aşan açılar için önce 360°'nin katlarını çıkarın.
Kiriş uzunluğunu nasıl bulurum? Kiriş (yayın iki uç noktası arasındaki düz çizgi) \(2r \times \sin(\theta/2)\) formülüyle bulunur; bu değer eğri yay uzunluğundan farklıdır.
Açı Tarafından Yaygın Yay Uzunlukları
Aşağıdaki tablo, birim çemberi (yarıçap \(r=1\)) kullanır. Yay uzunluğu \(L=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r\) ile hesaplanır. Diğer herhangi bir yarıçap için, "r'nin katı olarak" sütununu yarıçapınızla çarpmanız yeterlidir.
| Açı (derece) | Radyan | Yay uzunluğu (r'nin katı) | Yay uzunluğu (ondalık, r=1) | Çemberin kesri |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\pi}{6}\,r\) | 0.5236 | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\pi}{4}\,r\) | 0.7854 | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\pi}{3}\,r\) | 1.0472 | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | \(\tfrac{\pi}{2}\,r\) | 1.5708 | 1/4 |
| 120° | \(2\pi/3\) | \(\tfrac{2\pi}{3}\,r\) | 2.0944 | 1/3 |
| 180° | \(\pi\) | \(\pi\,r\) | 3.1416 | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2\) | \(\tfrac{3\pi}{2}\,r\) | 4.7124 | 3/4 |
| 360° | \(2\pi\) | \(2\pi\,r\) | 6.2832 | 1 (tam çember) |
Temel Terimler
- Yay — çemberin kenarının (çevresi) sürekli bir kısmı. Uzunluğu \(L\), bu hesaplayıcının yarıçap ve merkez açıdan bulduğu şeydir.
- Merkez açı (θ) — çemberin merkezinde, yayı sınırlayan iki yarıçap tarafından oluşturulan açı (burada derece cinsinden ölçülür). Daha büyük \(\theta\) daha uzun bir yay çizer; 360°'de yay tüm çevreye dönüşür.
- Yarıçap (r) — merkezden çemberin herhangi bir noktasına olan mesafe. Yay uzunluğu doğrudan \(r\) ile ölçeklendirilir: yarıçapı ikiye katlayın ve aynı açı için yay ikiye katlanır.
- Radyan — yarıçapa eşit uzunlukta bir yay açan açı. \(360^\circ = 2\pi\) radyan olduğundan, radyana dönüştürmek kompakt formu \(L = r\theta_{\text{rad}}\) verir.
- Çevre — tam çemberin yay uzunluğu, \(C = 2\pi r\). Her yay uzunluğu bu değerin \(\theta/360\) kesridir.
- Kiriş — yayın iki uç noktasını birleştiren düz çizgi. Her zaman kapsadığı yaydan daha kısadır ve yay uzunluğu ile aynı değildir.
- Sektor — yay ve iki yarıçapı tarafından sınırlanan "pasta dilimi" bölgesi. Yay onun eğri sınırıdır; alanı \(\tfrac{\theta}{360}\pi r^2\) dir.
