Aritmetik Seri Toplamı Hesaplama Aracı nedir?
Aritmetik seri, bir aritmetik dizinin terimlerinin toplamıdır. Aritmetik dizi ise her terimin bir öncekine göre sabit bir miktar arttığı (ya da azaldığı) sayı listesidir; bu sabit miktara ortak fark denir. Bu hesaplama aracı, ilk terimi, ortak farkı ve dahil etmek istediğiniz terim sayısını girdiğinizde böyle bir serinin ilk n terimini toplar.
Nasıl kullanılır?
İlk terim a₁ değerini, ortak fark d değerini (artan seri için pozitif, azalan seri için negatif) ve terim sayısı n değerini girin. Araç size toplam Sₙ değerini, son terim aₙ değerini gösterir ve terim sayısını da ayrıca doğrular.
Formülün açıklaması
Toplam şu formülle bulunur:
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
Formülün arkasındaki mantık şu: ilk ve son terimi eşleştirdiğinizde elde edilen toplam her zaman aynıdır ve bu tür eşleşmelerden \(n/2\) tane vardır. Son terim \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) olduğundan, formülün eşdeğer bir başka biçimi de \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) şeklindedir.
Örnek çözüm
Diyelim ki \(a_1 = 2\), \(d = 3\) ve \(n = 5\) olsun. Terimler şöyledir: 2, 5, 8, 11, 14. Formülü uygulayalım: $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2{,}5 \cdot (4 + 12) = 2{,}5 \cdot 16 = \mathbf{40}$$ Doğrudan toplarsak: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
Daha Fazla Çözümlü Örnek
Aritmetik serinin toplamının iki eş değeri formu:
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{ve}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$İkinci form, son terimi zaten bildiğiniz (veya önce hesapladığınız) \(a_n = a_1 + (n-1)d\) durumunda kullanışlıdır.
Örnek 1 — Negatif d ile azalan seri
Bir seri \(a_1 = 40\) ile başlar, her adımda \(d = -3\) kadar azalır ve \(n = 10\) terime sahiptir.
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$Toplam 265'tir. (10. terim \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\) olduğundan, terimler 40, 37, 34, … , 13 şeklinde devam eder.)
Örnek 2 — Büyük-n durumu
\(a_1 = 5\) ve \(d = 4\) olan serinin ilk \(n = 100\) terimini toplayın.
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$Toplam 20300'dır.
Örnek 3 — \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) formunu kullanma
Bir serinin \(a_1 = 7\), \(d = 5\) ve \(n = 20\) olduğu bilinmektedir. Önce son terimi bulun:
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$Ardından uçların ortalaması formunu uygulayın:
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$Toplam 1090'dır. Bu, genişletilmiş form \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\) ile eşleşir.
Sıkça Sorulan Sorular
d sıfır olursa ne olur? Bu durumda her terim \(a_1\) değerine eşittir, dolayısıyla toplam basitçe \(n \times a_1\) olur.
d negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir ortak fark azalan bir seri oluşturur ve formül yine de doğru sonuç verir.
Dizi ile seri arasındaki fark nedir? Dizi, sayıların sıralı listesidir; seri ise bu sayıların toplamıdır.
