什麼是等差數列？
等差數列是一串數字，其中每一項都比前一項固定增加（或減少）一個量，這個量稱為「公差」，以 \(d\) 表示。從首項 \(a_1\) 開始，後面每一項都再加上 \(d\)。這個計算機只要輸入三個數值，就能立即幫你求出第 \(n\) 項（\(a_n\)）以及前 \(n\) 項的總和（\(S_n\)）。
如何使用本計算機
輸入首項 \(a_1\)、公差 \(d\)（遞增數列填正數，遞減數列填負數），以及你想求的項數位置 \(n\)。按下計算，就能看到第 \(n\) 項 \(a_n\) 的數值，以及從 \(a_1\) 到 \(a_n\) 所有項相加的累計總和 \(S_n\)。
公式詳解
第 \(n\) 項的公式為 $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ 因為在首項之後總共要加上 \((n - 1)\) 次公差。前 \(n\) 項總和則運用了高斯（Gauss）發現的「首尾配對」技巧：$$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$ 也就是把首項與末項的平均值，再乘上項數。
實例演算
假設 \(a_1 = 2\)、\(d = 3\)、\(n = 10\)。第 10 項為 $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ 前 10 項的總和為 $$S_n = \frac{10}{2}\left(2 + 29\right) = 5 \times 31 = 155$$
跨場景比較等差數列
等差數列的兩個主要輸出為第n項 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)和部分和 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。下表將這些公式應用於多個實際輸入集，包括正公差、負公差（遞減）和分數步長。
| 首項 \(a_1\) | 公差 \(d\) | 項數 \(n\) | 第n項 \(a_n\) | 和 \(S_n\) | 數列預覽 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
注意負 \(d\) 如何產生遞減數列，以及即使後面的項變為負數，只要早期的項足夠大，和仍然可以是正數。
主要術語和變數
- 首項 \(a_1\)
- 數列的起始值 — 位置 \(n = 1\) 時的值。每個其他項是通過重複將公差加到它上面而構造的。
- 公差 \(d\)
- 從一項到下一項的固定加量：\(d = a_{n} - a_{n-1}\)。正 \(d\) 給出遞增數列，負 \(d\) 給出遞減數列，\(d = 0\) 給出常數列。
- 第n項 \(a_n\)
- 位置 \(n\) 處的項的值，可直接用 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 求得，無需列出中間的每一項。
- 部分和 \(S_n\)
- 前 \(n\) 項的和，\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。它配對首項和末項，再乘以對數。
- 項位置 \(n\)
- 一個正整數索引，告訴你想要哪一項（第1項、第2項、第3項、…）。它也等於在 \(S_n\) 中被求和的項數。
- 等差數列與級數
- 數列是項的有序列表（5, 7, 9, …）；級數是將那些項相加得到的。\(a_n\) 描述數列，而 \(S_n\) 是對應有限級數的值。
如何手動計算
使用此程序從三個輸入 \(a_1\)、\(d\) 和 \(n\) 求出第n項和和。我們將通過每一步帶著例子 \(a_1 = 5\)、\(d = 2\)、\(n = 8\)。
- 確定 \(a_1\)、\(d\) 和 \(n\)。讀出首項、項之間的常數步長以及你需要的位置。這裡 \(a_1 = 5\)、\(d = 2\) 和 \(n = 8\)。
- 計算第n項。代入 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)：
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\)。 - 計算部分和。將 \(a_1\)、\(a_n\) 和 \(n\) 代入 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)：
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\)。 - 檢查結果。列出項得到 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — 最後一項是 \(a_8 = 19\)，它們的總和為 96，確認了 \(S_8\)。
如果你只需要和且已經偏好從 \(a_1\) 和 \(d\) 開始工作，組合形式 \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) 在一行中給出相同的答案：\(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\)。
常見問題
公差 \(d\) 可以是負數嗎？可以。負的公差會產生遞減數列，而上述公式依然完全適用。
\(S_n\) 代表什麼？它是從 \(a_1\) 一直加到 \(a_n\)（含 \(a_n\)）所有項的合計，屬於有限項的部分和，而非無窮級數。
如果 \(n = 1\) 會怎樣？此時 \(a_n = a_1\)、\(S_n = a_1\)，因為數列中只有一項。
