什麼是 Softsign 函數？
Softsign 函數是一種應用於神經網路的激活函數，定義為 \(\phi(x) = x / (1 + |x|)\)。與雙曲正切函數（tanh）類似，它平滑、呈 S 形，並被限制在開區間 \((-1, 1)\) 之內。兩者最大的差異在於趨近漸近線的方式：Softsign 以多項式速度（約 \(1/|x|\)）逼近 \(\pm 1\)，而 tanh 則以指數速度逼近。這種較緩慢的飽和特性，在某些網路架構中有助於減輕梯度消失的問題。
如何使用本計算器
請輸入三個數值：x 的起始值（第一列的 x）、遞增值（每一列累加的步長），以及重複次數（要產生的列數）。計算器會逐點列出 x、Softsign \(\phi(x)\) 以及一階導數 \(\phi'(x)\) 的數值表，方便您繪製曲線或查詢特定點的值。
公式解析
對於每一列，設 \(a = 1 + |x|\)，則 \(\phi(x) = x / a\)，而 \(\phi'(x) = 1 / a^2\)。由於 \(|x|\) 永遠不為負，分母 \(a\) 至少為 1，因此絕不會出現除以零的情況，函數處處平滑。完整的公式為：
$$f(x) = \frac{x}{1+|x|}, \qquad f'(x) = \frac{1}{(1+|x|)^{2}}$$其中
$$x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}, \quad i = 0,1,\dots,\text{Repetitions}-1$$Softsign 函數是奇函數（\(\phi(-x) = -\phi(x)\)），而其導數則是偶函數（\(\phi'(-x) = \phi'(x)\)）。在原點處，\(\phi(0) = 0\) 且 \(\phi'(0) = 1\)。
實例演算
當 \(x = -5\) 時：\(a = 1 + 5 = 6\)，因此 \(\phi(-5) = -5/6 = -0.8333333\)，\(\phi'(-5) = 1/36 = 0.0277778\)。當 \(x = 1\) 時：\(a = 2\)，因此 \(\phi(1) = 0.5\)，\(\phi'(1) = 0.25\)。當 \(x = 0\) 時：\(a = 1\)，因此 \(\phi(0) = 0\)，\(\phi'(0) = 1\)。採用預設值（起始 -5、步長 0.1、共 101 列）時，數值表會將 x 從 -5 掃描至 +5。
常見問題
為什麼導數永遠不會是負數？因為 \(\phi'(x) = 1/(1+|x|)^2\) 是某個平方的倒數，恆為嚴格正值，這代表 Softsign 是單調遞增的函數。
Softsign 與 tanh 有何不同？兩者都會飽和到一個有界範圍，但 Softsign 飽和得更加緩慢（有理式衰減），相較之下 tanh 為指數衰減，因此 Softsign 能在更廣的輸入範圍內保持梯度的活性。
步長可以是負數嗎？可以。負的步長會讓數值表遞減；步長為零則會讓每一列都重複相同的 x 值。
