Hệ số nhị thức là gì?
Hệ số nhị thức, ký hiệu là C(n, k) hay đọc là "chọn k từ n", cho biết số cách chọn ra k phần tử từ một tập gồm n phần tử phân biệt mà không quan tâm đến thứ tự chọn. Đây là một trong những đại lượng nền tảng nhất của tổ hợp và xác suất, xuất hiện trong tam giác Pascal, định lý nhị thức (khai triển Newton) và vô số bài toán đếm khác.
Cách sử dụng công cụ
Nhập tổng số phần tử n và số phần tử bạn muốn chọn k. Công cụ sẽ trả về số tổ hợp chính xác. Nếu k lớn hơn n, kết quả sẽ là 0, vì bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử đang có.
Giải thích công thức
Định nghĩa kinh điển là:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
Vì giai thừa tăng cực nhanh, công cụ này sử dụng dạng tích tương đương, bằng cách nhân lần lượt (n−k+i)/i với i = 1…min(k, n−k). Cách làm này giữ cho các số trung gian luôn nhỏ, tránh tràn số mà vẫn cho ra cùng một kết quả nguyên.
Ví dụ minh họa
Có bao nhiêu cách rút 2 lá bài từ một chồng 5 lá? Ta tính $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$ Vậy có 10 cặp bài khác nhau.
Tham Chiếu Tam Giác Pascal (C(n,k) với n nhỏ)
Mỗi mục nhập trong bảng là hệ số nhị thức \(\binom{n}{k}\), được sắp xếp sao cho mỗi hàng \(n\) liệt kê các giá trị cho \(k = 0, 1, \dots, n\). Điều này tạo thành tam giác Pascal, trong đó mỗi mục nhập ở phía trong bằng tổng của hai mục nhập nằm chéo trên nó: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). Lưu ý tính đối xứng trong mỗi hàng, vì \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Ví dụ, \(\binom{10}{3} = \) 120, được tìm thấy ở hàng 10, cột \(k=3\). Tổng của mỗi mục nhập trong hàng \(n\) bằng \(2^n\) (ví dụ hàng 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).
Thêm Các Ví Dụ Đã Giải
Các ví dụ sau áp dụng công thức \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), sử dụng lối tắt nhân \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) để những giai thừa khổng lồ bị triệt tiêu trước khi có bất kỳ phép nhân lớn nào được thực hiện.
Ví Dụ 1: \(\binom{10}{3}\) — chọn 3 từ 10
Chỉ giữ lại ba nhân tử giảm dần hàng đầu của \(10!\) chia cho \(3!\):
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$Vì vậy có 120 cách để chọn 3 mục từ 10 khi thứ tự không quan trọng.
Ví Dụ 2: \(\binom{6}{6}\) — chọn tất cả
Chọn mỗi mục có sẵn có thể được thực hiện theo đúng một cách. Với \(k = n\), số hạng \((n-k)!\) trở thành \(0! = 1\):
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$Điều này xác nhận đẳng thức \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1.
Ví Dụ 3: \(\binom{49}{6}\) — xổ số 6 từ 49
Số lượng vé 6 số phân biệt không có thứ tự từ một nhóm 49 sử dụng lối tắt nhân với sáu nhân tử giảm dần lớn nhất:
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$Tử số là \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\), và mẫu số là \(6! = 720\):
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$Vì vậy một vé đơn lẻ có cơ hội 1-trong-13,983,816 để khớp tất cả sáu số. Nếu bạn muốn các lần rút có thứ tự thay vào đó, bạn sẽ sử dụng hoán vị \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) — nhưng đối với một xổ số điển hình chỉ có tổ hợp mới quan trọng.
Câu hỏi thường gặp
C(n, 0) bằng bao nhiêu? Luôn bằng 1 — chỉ có đúng một cách để chọn ra... không gì cả.
C(n, k) có bằng C(n, n−k) không? Có, hệ số nhị thức có tính đối xứng: chọn k phần tử để giữ lại cũng tương đương với chọn n−k phần tử để loại bỏ.
Tổ hợp và chỉnh hợp khác nhau thế nào? Tổ hợp không quan tâm thứ tự, còn chỉnh hợp thì có tính đến thứ tự. Số chỉnh hợp bằng \(\binom{n}{k} \times k!\).
