什么是二项分布概率计算器？
这款计算器用于求出在 n 次独立试验中恰好出现 k 次成功的概率，其中每次试验的成功概率 p 都相同。比如固定次数地抛硬币、统计一批产品中的次品数量，或者计算球员投中多少个罚球，这些情形都符合二项分布。
如何使用
输入试验次数（n）、你关注的成功次数（k），以及单次试验的成功概率（p，取值介于 0 到 1 之间）。计算器会返回精确概率 \(P(X = k)\)、两个累积概率 \(P(X \le k)\) 与 \(P(X \ge k)\)，并给出该分布的均值和标准差。
公式解析
二项分布概率公式为：
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$其中 \(C(n,k)\) 是二项式系数（即在 n 次试验中安排 k 次成功的组合数），\(p^{k}\) 表示这 k 次成功发生的概率，\((1 - p)^{n - k}\) 表示剩下 n − k 次失败发生的概率。该分布的均值为 \(n \cdot p\)，标准差为 \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)。
实例演示
假设你抛一枚均匀硬币 10 次（n = 10，p = 0.5），想知道恰好出现 3 次正面（k = 3）的概率。由于 \(C(10,3) = 120\)，因此 $$P = 120 \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{7} = 120 \cdot 0.0009765625 = \mathbf{0.1171875}$$ 约为 11.7%。
更多工作示例
每个示例使用二项概率公式 \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)，其中 \(n\) 是独立试验的次数，\(p\) 是每次试验成功的概率，\(k\) 是感兴趣的成功次数。
示例 1 — 缺陷物品，P(X ≤ 2)
一个货物的缺陷率为 \(p = 0.05\)。在随机抽样的 \(n = 20\) 件物品中，最多有 2 件缺陷的概率是多少？我们需要 \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\)。
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
注意 \(\binom{20}{2} = 190\)。将三项相加：
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$因此恰好有 2 件缺陷的概率约为 0.188677，而 2 件或更少的概率大约为 92.5%。该分布的平均数为 \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) 件缺陷品，标准差为 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\)。
示例 2 — 罚球，P(X ≥ 4)
一名球员罚球命中的概率为 \(p = 0.8\)，进行 \(n = 5\) 次投篮。至少命中 4 次的概率是多少？我们需要 \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\)。
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
这里 \(\binom{5}{4} = 5\) 和 \(\binom{5}{5} = 1\)。求和：
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$该球员在 5 次投篮中命中至少 4 次的概率约为 73.7%。命中投篮的期望数为 \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\)，标准差为 \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\)。最可能的单个结果是 \(P(X = 4) = \)0.4096。
示例 3 — 调查回应，精确值
假设 30% 的人 \((p = 0.3)\) 认可某个品牌，你调查了 \(n = 10\) 人。恰好有 3 人认可该品牌的概率为：
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$其中 \(\binom{10}{3} = 120\)，结果为 \(P(X=3) \approx\) 0.266828。平均数为 \(\mu = np = 3\) 人认可，与最可能的计数相符，\(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\)。
关键术语和变量
| 符号 / 术语 | 含义 |
|---|---|
| \(n\) — 试验次数 | 实验的固定总重复次数，且各次独立（例如检查的物品数、投篮次数）。必须为非负整数。 |
| \(k\) — 成功次数 | 你想要计算其概率的成功结果的具体计数，满足 \(0 \le k \le n\)。 |
| \(p\) — 成功概率 | 任何单次试验成功的概率，对每次试验都相同。取值在 0 到 1 之间。 |
| \(q = 1 - p\) — 失败概率 | 单次试验失败的概率。由于每次试验要么成功，要么失败，所以 \(p + q = 1\)。 |
| \(\binom{n}{k}\) — 二项式系数 | 在 \(n\) 次试验中选择 \(k\) 次成功的不同方式的数量，读作"n 取 k"：\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。 |
| \(P(X = k)\) — 精确概率 | 恰好获得 \(k\) 次成功的概率：\(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\)。 |
| \(P(X \le k)\) — 累积概率（最多） | \(k\) 次或更少成功的概率，即 \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\) 的和。 |
| \(P(X \ge k)\) — 累积概率（至少） | \(k\) 次或更多成功的概率，等于 \(1 - P(X \le k-1)\)。 |
| \(\mu = np\) — 平均数 | 在重复进行多次 \(n\) 次试验的实验中，成功次数的期望值（平均值）。 |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — 标准差 | 衡量成功次数在平均数周围通常变化程度的量。 |
解释你的结果
二项式计算器可以回答三个相关但不同的问题，将输出与你实际提出的问题相匹配很重要。
- 精确概率 \(P(X = k)\)：恰好获得 精确 \(k\) 次成功的概率 — 不多不少。用于类似"恰好有 3 个缺陷的概率是多少？"这样的问题。由于它限定了单一结果，这个值通常比下面的累积概率要小。
- 最多 \(P(X \le k)\)：\(k\) 次或更少成功的概率。它将 0, 1, …, k 的概率相加。用于"不超过"、"最多"或"小于或等于"的表述。
- 至少 \(P(X \ge k)\)：\(k\) 次或更多成功的概率。一个方便的快捷方式是 \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\)。用于"至少"、"不少于"或"最少"的表述。
要仔细注意边界：在"超过 \(k\)"意味着 \(P(X \ge k+1)\)，而"少于 \(k\)"意味着 \(P(X \le k-1)\)。单个单词的改变会影响哪些项被求和。
平均数 \(\mu = np\) 是成功的期望次数 — 如果你多次重复整个 \(n\) 次试验实验，得到的长期平均计数。对于 \(n = 20\) 件物品且 \(p = 0.05\) 的情况，平均你会预期 \(\mu = 1\) 个缺陷，尽管任何单个样本可能有 0、1、2 或更多件。平均数也是（接近）最可能的单个结果，所以将你的 \(k\) 与 \(np\) 进行比较会告诉你是在问一个典型结果还是一个不寻常的结果。
标准差 \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) 描述结果在平均数周围的分布范围。大多数结果落在距平均数约一到两个标准差的范围内。当 \(k\) 距平均值 \(np\) 有几个标准差时，相应的概率很小，这正是为什么"尾部"事件感觉令人惊讶。当 \(n\) 很大且 \(p\) 不太接近 0 或 1 时，二项分布大约是正态的，具有相同的平均数和标准差，允许对累积概率进行正态曲线近似。
这是帮助你阅读输出的一般统计信息；在依赖该结果之前，始终确认你的情景满足二项假设（固定数量的独立试验、每次试验两个结果和常数成功概率）。
常见问题
什么情况下可以使用二项分布？当你有固定次数的独立试验，每次试验只有两种结果（成功／失败），且成功概率保持不变时即可使用。
\(P(X \ge k)\) 是什么意思？它表示至少出现 k 次成功的概率，适合解决"k 次及以上"这类问题。
p 可以大于 1 吗？不可以。概率必须介于 0 到 1 之间，超出该范围的数值会被自动限制在区间内。
