ما هي حاسبة مساحة المثمن؟
تحسب هذه الأداة مساحة المثمن المنتظم — وهو مضلّع له ثمانية أضلاع متساوية وثماني زوايا داخلية متساوية — اعتمادًا على طول ضلع واحد فقط. ونصادف الأشكال الثمانية في كل مكان حولنا، من إشارات التوقف والمظلات إلى بلاط الأرضيات والتصاميم المعمارية، لذا فإن معرفة المساحة المحصورة بسرعة أمر مفيد في الأعمال اليدوية والبناء وحلّ واجبات الهندسة.
طريقة الاستخدام
أدخل طول الضلع الواحد (s) بأي وحدة تناسبك — سنتيمترات، بوصات، أمتار أو أقدام. اضغط على زر الحساب لتعرض لك الأداة المساحة بمربّع تلك الوحدة، إضافةً إلى المحيط. وبما أن المعادلة هندسية بحتة، فإنها تصلح لأي وحدة قياس ولأي طول ضلع موجب.
شرح المعادلة
تُحسب مساحة المثمن المنتظم بالعلاقة:
$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\cdot s^{2}$$
قيمة الثابت \(2\left(1 + \sqrt{2}\right)\) تساوي تقريبًا \(4.8284\). ويمكن تقسيم المثمن المنتظم إلى مربّع مركزي مع أربعة مستطيلات وأربعة مثلثات في الزوايا؛ وبجمع هذه الأجزاء نحصل على هذا التعبير المختصر. أما المحيط فهو ببساطة \(P = 8s\) لأن الأضلاع الثمانية متساوية جميعها.
مثال محلول
لنفترض أن طول كل ضلع يساوي 5 وحدات. عندئذٍ \(s^{2} = 25\)، وتكون $$A = 2(1 + 1.41421) \times 25 = 4.82843 \times 25 \approx 120.71 \text{ وحدة مربّعة}$$ أما المحيط فيساوي \(8 \times 5 = 40\) وحدة.
منطقة الثماني الأضلاع للأطوال الجانبية الشائعة
تُحسب مساحة الثماني الأضلاع المنتظم مباشرة من طول ضلعه \(s\) باستخدام الصيغة \(A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)s^{2}\)، حيث الثابت \(2(1+\sqrt{2}) \approx 4.828427\). المحيط هو ببساطة \(P = 8s\). يوضح الجدول أدناه كلا الكميتين لمجموعة من أطوال الأضلاع الشائعة، مقربة لمنزلتين عشريتين. تستخدم القيم وحدات متسقة — إذا كان \(s\) بالسنتيمترات، فإن المساحة تكون بالسنتيمترات المربعة.
| الضلع \(s\) | المحيط \(8s\) | المساحة \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 4.83 |
| 2 | 16 | 19.31 |
| 5 | 40 | 120.71 |
| 10 | 80 | 482.84 |
| 20 | 160 | 1931.37 |
| 50 | 400 | 12071.07 |
| 100 | 800 | 48284.27 |
لأن المساحة تتناسب مع مربع الضلع، فإن مضاعفة طول الضلع يضرب المساحة بأربعة — على سبيل المثال، الانتقال من \(s=10\) إلى \(s=20\) يزيد المساحة من 482.84 إلى 1931.37، بمعامل أربعة.
تحويلات أبعاد الثماني الأضلاع
يمكن وصف الثماني الأضلاع المنتظم بعدة قياسات مرتبطة، كل منها مضاعف ثابت لطول الضلع \(s\). العرض عبر الأضلاع المسطحة \(W\) هو المسافة بين حافتين متوازيتين متقابلتين؛ العرض عبر الزوايا \(D\) (القطر المحدود) هو المسافة بين رأسين متقابلين. تُعطى بواسطة:
$$W = s\left(1+\sqrt{2}\right), \qquad D = s\sqrt{4+2\sqrt{2}}, \qquad P = 8s$$| الكمية | الصيغة | العامل × \(s\) |
|---|---|---|
| المحيط \(P\) | \(8s\) | 8 |
| العرض عبر الأضلاع المسطحة \(W\) | \(s(1+\sqrt{2})\) | 2.414214 |
| العرض عبر الزوايا \(D\) | \(s\sqrt{4+2\sqrt{2}}\) | 2.613126 |
| المساحة \(A\) | \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) | 4.828427 (× \(s^{2}\)) |
للتحويل في الاتجاه الآخر، اقسم على العامل. على سبيل المثال، إذا كنت تعرف العرض عبر الأضلاع المسطحة، فإن طول الضلع هو \(s = W / (1+\sqrt{2}) \approx 0.414214\,W\)؛ إذا كنت تعرف القطر عبر الزوايا، \(s = D / \sqrt{4+2\sqrt{2}} \approx 0.382683\,D\). بمجرد استرجاع \(s\)، تتبع المساحة من \(A = 2(1+\sqrt{2})s^{2}\). كمثال، ثماني أضلاع على شكل علامة توقف بضلع \(s = 30\,\text{سم}\) له عرض عبر الأضلاع المسطحة 72.43 سم، وعرض عبر الزوايا 78.39 سم، ومساحة 4345.58 سم².
الأسئلة الشائعة
هل تصلح هذه الأداة للمثمنات غير المنتظمة؟ لا. تفترض المعادلة مثمنًا منتظمًا بأضلاع وزوايا متساوية جميعها. أما المثمنات غير المنتظمة فيجب تقسيمها إلى مثلثات وجمع مساحاتها كلًّا على حدة.
ما الوحدات التي تستعملها؟ أي وحدة متّسقة — تظهر المساحة بمربّع الوحدة نفسها التي أدخلتها لطول الضلع.
كيف أحسب المساحة انطلاقًا من العرض بين الوجهين المتقابلين؟ يرتبط العرض بين الوجهين W بطول الضلع عبر العلاقة \(W = s(1 + \sqrt{2})\)، أي أن \(s = W / (1 + \sqrt{2})\). حوّل القيمة أولًا ثم أدخل طول الضلع.
