ما الذي تقوم به حاسبة المتتالية الحسابية
المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأرقام يزداد فيها كل حدّ (أو ينقص) بمقدار ثابت يُسمّى أساس المتتالية أو الفرق المشترك. تستقبل هذه الحاسبة ثلاثة مُدخَلات وتُعيد لك على الفور الحد الأخير، ومجموع جميع الحدود، إضافة إلى عرض بصري ملوّن للمتتالية بأكملها يتيح لك متابعة تطوّرها من نظرة واحدة.
المُدخَلات المطلوبة منك
- الحد الأول (a₁): القيمة التي تبدأ منها المتتالية.
- أساس المتتالية (d): المقدار الذي يُضاف إلى كل حدّ للحصول على الحدّ الذي يليه. القيمة الموجبة تجعل المتتالية تتصاعد، والقيمة السالبة تجعلها تتناقص.
- عدد الحدود (n): كم حدًّا تريد توليده وعرضه وجمعه.
الصيغ المستخدمة
تعتمد الحاسبة على القانونين الأساسيين للمتتالية الحسابية:
- الحد النوني (الأخير): $$a_n = a_1 + \left(n - 1\right) \times d$$
- مجموع n من الحدود: $$S_n = \frac{n}{2} \times \left(2a_1 + \left(n - 1\right) \times d\right)$$
كما تُنشئ كل حدّ على حدة بدءًا من \(a_1\) وحتى \(a_n\). وفي العرض البصري، يُظلَّل كل حدّ بتدرّج لوني من الأخضر إلى الأحمر مع تغيّر طفيف في الحجم — تظهر أصغر قيمة باللون الأخضر وبحجم صغير، وتظهر أكبر قيمة باللون الأحمر وبحجم أكبر — حتى يسهل تتبّع الاتجاه العام للمتتالية.
مثال محلول
لنفترض أنك أدخلت: الحد الأول = 3، وأساس المتتالية = 5، وعدد الحدود = 6.
- الحد الأخير: $$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right) \times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- المجموع: $$S_6 = \frac{6}{2} \times \left(2 \times 3 + \left(6 - 1\right) \times 5\right) = 3 \times \left(6 + 25\right) = 3 \times 31 = \mathbf{93}$$
- المتتالية: 3، 8، 13، 18، 23، 28
تُعيد الحاسبة 28 بوصفه الحد الأخير، و93 بوصفه المجموع، وتعرض الحدود الستة جميعها مع تدرّجها اللوني.
مقارنة مدخلات متسلسلات مختلفة
تُعرّف المتسلسلة الحسابية بثلاثة مدخلات: الحد الأول \(a_1\)، والفرق المشترك \(d\)، وعدد الحدود \(n\). من هذه المدخلات يمكنك حساب الحد الأخير (الحد النوني) ومجموع جميع الحدود باستخدام:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
يعرض الجدول أدناه كيف يتغير الحد الأخير والمجموع عبر عدة مجموعات مدخلات واقعية. لاحظ كيف أن الفرق المشترك السالب ينتج متسلسلة تنازلية، والفرق الكسري ينتج حدود غير صحيحة.
| الحد الأول \(a_1\) | الفرق المشترك \(d\) | عدد الحدود \(n\) | الحد الأخير \(a_n\) | المجموع \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
على سبيل المثال، الصف الأخير يجمع الأعداد الصحيحة \(0+1+2+\cdots+99\). باستخدام \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\). يمكن تأكيد هذا المجموع ذاته باستخدام صيغة المتسلسلة الحسابية، وبشكل مكافئ كالمجموع \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون أساس المتتالية سالبًا أو عددًا عشريًا؟ نعم. تُقرأ المُدخَلات بوصفها أعدادًا عشرية، فأساس قيمته −2 يُنتج متتالية متناقصة، وقيمة 0.5 تُنتج خطوات كسرية. الشرط الوحيد أن يكون عدد الحدود رقمًا صحيحًا.
ماذا يحدث إذا أدخلت 1 في خانة عدد الحدود؟ ستحتوي المتتالية على الحد الأول فقط، وسيساوي الحد الأخير الحدَّ الأول، ويكون المجموع هو تلك القيمة نفسها.
هل تعمل الحاسبة مع السلسلة الحسابية أيضًا؟ نعم — فمخرج «المجموع» هو تمامًا قيمة السلسلة الحسابية (إجمالي جميع الحدود)، المحسوب باستخدام صيغة \(S_n\) الواردة أعلاه.
