ما هو المعامل الثنائي؟
المعامل الثنائي، ويُكتب على هيئة C(n, k) أو "توافيق k من n"، يُمثّل عدد الطرق الممكنة لاختيار k عنصرًا من مجموعة مكوّنة من n عنصرًا مختلفًا، دون أن يكون لترتيب الاختيار أي أهمية. وهو من أهم المفاهيم الأساسية في علم التوافيق ونظرية الاحتمالات، إذ يظهر في مثلث باسكال، ومبرهنة ذات الحدّين، وعدد لا يُحصى من مسائل العدّ.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد الإجمالي للعناصر n ثم العدد الذي ترغب في اختياره k. ستعرض لك الحاسبة عدد التوافيق بدقّة تامّة. وإذا كانت قيمة k أكبر من n، فستكون النتيجة صفرًا، لأنه من غير الممكن اختيار عدد من العناصر أكبر من العدد المتاح أصلًا.
شرح الصيغة
التعريف الكلاسيكي للمعامل الثنائي هو:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
وبما أنّ المضروب (العاملي) ينمو بسرعة هائلة، تعتمد هذه الأداة على الصيغة الضربية المكافئة، فتضرب (n−k+i)/i من أجل i = 1…min(k, n−k). وبهذه الطريقة تبقى الأعداد الوسيطة صغيرة ويُتفادى تجاوز السعة، مع الحصول على النتيجة الصحيحة نفسها كعدد طبيعي.
مثال محلول
كم عدد الأيدي المكوّنة من ورقتين التي يمكن سحبها من كومة فيها 5 أوراق؟ نحسب $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$ إذن هناك 10 أزواج ممكنة.
مرجع مثلث باسكال (C(n,k) لقيم صغيرة من n)
كل إدخال في الجدول هو معامل ثنائي الحد \(\binom{n}{k}\)، مرتبة بحيث يسرد كل صف \(n\) القيم لـ \(k = 0, 1, \dots, n\). يشكل هذا مثلث باسكال، حيث يساوي كل إدخال داخلي مجموع الإدخالات الاثنين على القطر فوقه: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). لاحظ التماثل داخل كل صف، منذ \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
على سبيل المثال، \(\binom{10}{3} = \) 120، الموجود في الصف 10، العمود \(k=3\). مجموع كل إدخال في الصف \(n\) يساوي \(2^n\) (على سبيل المثال الصف 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).
أمثلة معمول بها إضافية
تطبق الأمثلة التالية الصيغة \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)، باستخدام الاختصار الضربي \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) بحيث تُلغى العاملات الضخمة قبل أي ضرب كبير ضروري.
المثال 1: \(\binom{10}{3}\) — اختيار 3 من 10
احتفظ بفقط أفضل 3 عوامل متناقصة من \(10!\) على \(3!\):
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$إذن هناك 120 طريقة لاختيار 3 عناصر من 10 عندما لا يكون الترتيب مهماً.
المثال 2: \(\binom{6}{6}\) — اختيار كل منها
يمكن اختيار كل عنصر متاح بطريقة واحدة بالضبط. مع \(k = n\)، يصبح الحد \((n-k)!\) هو \(0! = 1\):
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$يؤكد هذا الهوية \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1.
المثال 3: \(\binom{49}{6}\) — يانصيب من 6 من 49
يستخدم عدد تذاكر 6 أرقام مميزة غير مرتبة من مجموعة من 49 الاختصار الضربي مع ستة عوامل متناقصة الأكبر:
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$البسط هو \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\)، والمقام هو \(6! = 720\):
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$إذن لتذكرة واحدة فرصة 1 في 13,983,816 للمطابقة مع جميع الأرقام الستة. إذا كنت بدلاً من ذلك تريد سحوبات مرتبة، كنت ستستخدم التباديل \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) — ولكن بالنسبة ليانصيب نموذجي فقط المجموعة مهمة.
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(\binom{n}{0}\)؟ تساوي دائمًا 1 — فهناك طريقة واحدة فقط لاختيار "لا شيء".
هل \(\binom{n}{k}\) تساوي \(\binom{n}{n-k}\)؟ نعم، فالمعامل الثنائي متناظر: اختيار k عنصرًا للاحتفاظ بها يكافئ اختيار n−k عنصرًا لاستبعادها.
ما الفرق بين التوافيق والتباديل؟ التوافيق لا تأخذ الترتيب بالحسبان، أما التباديل فتعتمد على الترتيب. ويُحسب عدد التباديل بالعلاقة \(\binom{n}{k} \times k!\).
