ما هو المعامل الثنائي؟
المعامل الثنائي، ويُكتب على هيئة \(C(n, k)\) أو يُقرأ "اختيار k من n"، يُعبّر عن عدد الطرق المختلفة لانتقاء k عنصرًا من مجموعة مكوّنة من n عنصرًا دون أن يكون لترتيب الاختيار أي أهمية. وهو من أهم المفاهيم الأساسية في علم التوافيق، ويظهر بكثرة في الاحتمالات والإحصاء والجبر — بما في ذلك مبرهنة ذات الحدين، ومثلث باسكال، وتوزيع الاحتمال الثنائي.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد الكلي للعناصر n، ثم عدد العناصر التي تريد اختيارها k، وستظهر لك النتيجة مباشرةً. تتطلب الأداة إدخال أعداد صحيحة بحيث يكون \(0 \le k \le n\). وإذا كانت قيمة k أكبر من n فإن المعامل يساوي 0، لأنه لا يمكنك اختيار عناصر أكثر من العناصر المتاحة فعلًا.
شرح الصيغة الرياضية
الصيغة الأساسية هي $$C(n, k) = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ حيث يرمز "!" إلى المضروب (العاملي). ولتجنّب الحصول على قيم مضروب ضخمة أثناء الحساب، تعتمد هذه الحاسبة الصيغة الضربية الأكثر كفاءة: فهي تضرب الأعداد من \((n - k + 1)\) حتى n وتقسّم تدريجيًا على الأعداد من 1 حتى k، كما تستفيد من خاصية التماثل \(C(n, k) = C(n, n - k)\) لتقليل عدد خطوات الحساب.
مثال محلول
كم عدد الأيدي المكوّنة من 3 بطاقات التي يمكن تكوينها من مجموعة من 10 بطاقات؟ $$C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}$$ أي أن هناك 120 توليفة مختلفة.
جدول مرجعي لمثلث باسكال
كل إدخال في مثلث باسكال هو معامل ذي حدين \(\binom{n}{k}\). الصف \(n\) يسرد القيم من \(k=0\) على اليسار إلى \(k=n\) على اليمين. كل قيمة داخلية تساوي مجموع القيمتين الموجودتين فوقها مباشرة، لذلك \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\). الصفوف أدناه تغطي \(n=0\) إلى \(n=10\)، مما يتيح لك قراءة المعاملات الصغيرة مباشرة.
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
لاحظ التماثل: كل صف يُقرأ بنفس الطريقة للأمام والخلف لأن \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). مجموع كل صف \(n\) يساوي \(2^{n}\) — على سبيل المثال، الصف 10 يجمع إلى \(2^{10}=1024\).
أمثلة عملية إضافية
توضح هذه الأمثلة الاستبدال الكامل في \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) بحيث يسهل التحقق من كل نتيجة.
المثال 1 — أيدي البوكر: C(52,5)
كم عدد أيدي البوكر المختلفة المكونة من 5 بطاقات التي يمكن توزيعها من مجموعة بطاقات بـ 52 بطاقة؟ الترتيب لا يهم، لذلك نستخدم معامل ذي الحدين.
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
هذا يعطينا 2,598,960 يدي بوكر ممكنة بـ 5 بطاقات.
المثال 2 — حالة الحد C(6,6)
اختيار جميع العناصر الـ 6 من مجموعة من 6 عناصر يمكن أن يتم بطريقة واحدة بالضبط — احتفظ بكل شيء. باستبدال \(k=n=6\):
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
هذا يعتمد على الاتفاقية \(0!=1\). نفس المنطق يعطينا \(\binom{n}{0}=1\) لأي \(n\): هناك طريقة واحدة بالضبط لاختيار لا شيء. لذلك 1.
المثال 3 — التماثل: C(8,2) = C(8,6)
المتطابقة \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) تعني أن اختيار \(k\) عنصراً للإدراج معادل لاختيار العناصر \(n-k\) المراد استبعادها. احسب كلا الطرفين لـ \(n=8\):
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
كلاهما يساوي 28، مما يؤكد خاصية التماثل. اختيار 2 للاحتفاظ بهما من 8 نفس العدد كاختيار الـ 6 للتخلص منهما.
الأسئلة الشائعة
هل للترتيب أهمية؟ لا. أما إذا كان الترتيب مهمًا (التباديل) فاستخدم الصيغة \(\frac{n!}{(n-k)!}\) بدلًا من ذلك.
ما قيمة \(C(n, 0)\)؟ تساوي دائمًا 1 — فهناك طريقة واحدة فقط لعدم اختيار أي شيء.
ماذا لو كانت \(k > n\)؟ تكون النتيجة 0؛ إذ لا يمكنك اختيار عناصر أكثر من المتاح.
