ما هي حاسبة الاحتمال الثنائي؟
تحسب هذه الأداة احتمال الحصول على k من النجاحات بالضبط ضمن n من المحاولات المستقلة، بشرط أن يكون لكل محاولة احتمال النجاح نفسه p. وكثير من المواقف اليومية تتبع التوزيع الثنائي (Binomial Distribution)، مثل رمي عملة معدنية عدداً محدداً من المرّات، أو عدّ القطع المعيبة داخل دفعة إنتاج، أو معرفة عدد الرميات الحرة التي يسجّلها لاعب كرة السلة.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد المحاولات (\(n\))، وعدد النجاحات التي تهمّك (\(k\))، واحتمال النجاح في المحاولة الواحدة (\(p\)، وقيمته بين 0 و1). تعرض لك الحاسبة الاحتمال الدقيق \(P(X = k)\)، والاحتمالين التراكميين \(P(X \le k)\) و \(P(X \ge k)\)، إضافةً إلى متوسط التوزيع وانحرافه المعياري.
شرح الصيغة
تُكتب صيغة الاحتمال الثنائي على النحو التالي:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$
هنا يمثّل \(C(n,k)\) المعامل الثنائي (أي عدد الطرق الممكنة لترتيب \(k\) نجاحاً بين \(n\) محاولة)، ويمثّل \(p^{k}\) احتمال وقوع تلك النجاحات الـ \(k\)، بينما يمثّل \((1 - p)^{n - k}\) احتمال الإخفاقات المتبقية وعددها \(n - k\). أمّا متوسط التوزيع فهو \(n \cdot p\)، والانحراف المعياري هو \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\).
مثال محلول
لنفترض أنك ترمي عملة عادلة 10 مرّات (\(n = 10\)، \(p = 0.5\)) وتريد معرفة احتمال ظهور 3 صور بالضبط (\(k = 3\)). بما أن \(C(10,3) = 120\)، فإنّ $$P = 120 \cdot 0.5^{3} \cdot 0.5^{7} = 120 \cdot 0.0009765625 = \mathbf{0.1171875}$$ أي نحو 11.7%.
المزيد من الأمثلة المحلولة
يستخدم كل مثال صيغة الاحتمال الحدين \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)، حيث \(n\) هو عدد المحاولات المستقلة، و\(p\) هو احتمال النجاح في كل محاولة، و\(k\) هو عدد النجاحات المطلوبة.
المثال 1 — العناصر المعيبة، P(X ≤ 2)
شحنة معدل العيب فيها \(p = 0.05\). في عينة عشوائية من \(n = 20\) عنصراً، ما احتمال أن يكون على الأكثر 2 معيبة؟ نحتاج إلى \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
لاحظ أن \(\binom{20}{2} = 190\). بجمع الحدود الثلاثة:
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$إذاً هناك احتمال بحوالي 0.188677 لوجود معيبة واحدة تماماً، واحتمال بحوالي 92.5% لوجود معيبتين أو أقل. التوزيع له متوسط \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) معيبة والانحراف المعياري \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\).
المثال 2 — رميات حرة، P(X ≥ 4)
يسجل اللاعب رميات حرة باحتمال \(p = 0.8\) ويأخذ \(n = 5\) رمياً. ما احتمال تسجيل على الأقل 4؟ نحتاج إلى \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\).
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
هنا \(\binom{5}{4} = 5\) و\(\binom{5}{5} = 1\). بالجمع:
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$يسجل اللاعب على الأقل 4 من 5 رمياً بحوالي 73.7% من الوقت. العدد المتوقع من الرميات المسجلة هو \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\) مع انحراف معياري \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\). النتيجة الأكثر احتمالاً هي \(P(X = 4) = \)0.4096.
المثال 3 — إجابات الاستطلاع، القيمة الدقيقة
لنفترض أن 30% من الأشخاص \((p = 0.3)\) يتعرفون على علامة تجارية، وتقوم باستطلاع \(n = 10\). احتمال أن يتعرف 3 بالضبط عليها هو:
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$مع \(\binom{10}{3} = 120\)، النتيجة هي \(P(X=3) \approx\) 0.266828. المتوسط هو \(\mu = np = 3\) تعرفات، مطابقة للعدد الأكثر احتمالاً، مع \(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\).
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
| الرمز / المصطلح | المعنى |
|---|---|
| \(n\) — عدد المحاولات | العدد الثابت الإجمالي للتكرارات المستقلة للتجربة (مثل العناصر المفتشة، الرمايات المؤخوذة). يجب أن يكون عدداً صحيحاً غير سالب. |
| \(k\) — عدد النجاحات | العدد المحدد للنتائج الناجحة التي تريد احتمالها، مع \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) — احتمال النجاح | احتمال النجاح في أي محاولة واحدة، نفسه لكل محاولة. قيمة بين 0 و 1. |
| \(q = 1 - p\) — احتمال الفشل | احتمال الفشل في محاولة واحدة. بما أن كل محاولة إما نجاح أو فشل، \(p + q = 1\). |
| \(\binom{n}{k}\) — معامل الحدين | عدد الطرق المختلفة لاختيار \(k\) نجاحات من بين \(n\) محاولة، تُقرأ "n اختر k": \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). |
| \(P(X = k)\) — الاحتمال الدقيق | احتمال الحصول على \(k\) نجاحات بالضبط: \(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\). |
| \(P(X \le k)\) — التراكمي (على الأكثر) | احتمال \(k\) أو أقل من النجاحات، المجموع \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\). |
| \(P(X \ge k)\) — التراكمي (على الأقل) | احتمال \(k\) أو أكثر من النجاحات، يساوي \(1 - P(X \le k-1)\). |
| \(\mu = np\) — المتوسط | العدد المتوقع (المتوسط) للنجاحات على مدى تكرارات عديدة لتجربة \(n\)-محاولة. |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — الانحراف المعياري | مقياس لمدى تغير عدد النجاحات عادة حول المتوسط. |
تفسير النتيجة
يمكن لحاسبة الحدين الإجابة على ثلاثة أسئلة مرتبطة لكن متميزة، ومن المهم مطابقة الناتج مع السؤال الذي تسأله فعلاً.
- الاحتمال الدقيق، \(P(X = k)\): فرصة الحصول على بالضبط \(k\) نجاح — لا أكثر، لا أقل. استخدمه للأسئلة مثل "ما احتمال وجود 3 عيوب بالضبط؟" لأنه يحدد نتيجة واحدة، هذه القيمة عادة أصغر من الاحتمالات التراكمية أدناه.
- على الأكثر، \(P(X \le k)\): فرصة \(k\) أو أقل من النجاحات. يضيف احتمالات \(0, 1, \dots, k\). استخدمه لصياغات "ليس أكثر من"، "على الأكثر"، أو "أقل من أو يساوي".
- على الأقل، \(P(X \ge k)\): فرصة \(k\) أو أكثر من النجاحات. اختصار مريح هو \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). استخدمه لصياغات "على الأقل"، "ليس أقل من"، أو "الحد الأدنى من".
راقب الحد بعناية: "أكثر من \(k\)" تعني \(P(X \ge k+1)\)، و"أقل من \(k\)" تعني \(P(X \le k-1)\). كلمة واحدة تغير الحدود المجموعة.
المتوسط \(\mu = np\) هو العدد المتوقع للنجاحات — متوسط العدد على المدى الطويل إذا كررت تجربة \(n\)-محاولة كاملة مراتاً عديدة. بالنسبة لـ \(n = 20\) عنصراً مع \(p = 0.05\)، ستتوقع \(\mu = 1\) عيب في المتوسط، حتى لو قد تحتوي أي عينة واحدة على 0 أو 1 أو 2 أو أكثر. المتوسط أيضاً (قريب من) النتيجة الوحيدة الأكثر احتمالاً، لذا فإن مقارنة \(k\) مع \(np\) تخبرك ما إذا كنت تسأل عن نتيجة نموذجية أم نتيجة غير عادية.
الانحراف المعياري \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) يصف انتشار النتائج حول المتوسط. تقع معظم النتائج ضمن حوالي انحراف معياري إلى اثنين من \(np\). عندما يكون \(k\) عدة انحرافات معيارية بعيداً عن المتوسط، الاحتمال المطابق صغير، وهو بالضبط السبب في أن أحداث "الذيل" تشعر بدهشة. عندما يكون \(n\) كبيراً و\(p\) ليس قريباً جداً من 0 أو 1، فإن توزيع الحدين يقارب التوزيع الطبيعي بنفس المتوسط والانحراف المعياري، مما يسمح بتقريب منحنى عادي للاحتمالات التراكمية.
هذه معلومات إحصائية عامة لمساعدتك على قراءة الناتج؛ تأكد دائماً من أن سيناريوك يفي بافتراضات الحدين (عدد ثابت من المحاولات المستقلة، نتيجتان لكل محاولة، واحتمال نجاح ثابت) قبل الاعتماد على النتيجة.
الأسئلة الشائعة
متى يمكنني استخدام التوزيع الثنائي؟ عندما يكون لديك عدد ثابت من المحاولات المستقلة، ولكل محاولة نتيجتان فقط (نجاح/إخفاق)، ويكون احتمال النجاح ثابتاً في كل مرّة.
ماذا يعني \(P(X \ge k)\)؟ إنه احتمال الحصول على \(k\) نجاحاً على الأقل — وهو مفيد لأسئلة "أو أكثر".
هل يمكن أن تكون قيمة \(p\) أكبر من 1؟ لا. يجب أن يقع الاحتمال بين 0 و1، وأي قيمة خارج هذا النطاق يجري حصرها داخله تلقائياً.
