¿Qué es un coeficiente binomial?
El coeficiente binomial, que se escribe C(n, k) o «n sobre k», indica de cuántas formas distintas se pueden elegir k elementos dentro de un conjunto de n elementos diferentes cuando el orden de selección no importa. Es una de las magnitudes más básicas de la combinatoria y la probabilidad: aparece en el triángulo de Pascal, en el teorema del binomio y en infinidad de problemas de conteo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número total de elementos n y la cantidad que quieres elegir k. La calculadora te devuelve el número exacto de combinaciones. Si k es mayor que n, el resultado es 0, ya que no puedes elegir más elementos de los que existen.
La fórmula explicada
La definición clásica es:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
Como los factoriales crecen a una velocidad enorme, esta herramienta utiliza la forma multiplicativa equivalente: multiplica (n−k+i)/i para i = 1…mín(k, n−k). Así los números intermedios se mantienen pequeños y se evita el desbordamiento, pero se obtiene el mismo resultado entero.
Ejemplo resuelto
¿Cuántas manos de 2 cartas se pueden formar a partir de un mazo de 5 cartas? Calculamos $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$ Por tanto, hay 10 parejas posibles.
Referencia del Triángulo de Pascal (C(n,k) para n pequeño)
Cada entrada en la tabla es el coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\), dispuesto de modo que cada fila \(n\) enumera los valores para \(k = 0, 1, \dots, n\). Esto forma el triángulo de Pascal, donde cada entrada interior es igual a la suma de las dos entradas diagonalmente arriba: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). Observe la simetría dentro de cada fila, ya que \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Por ejemplo, \(\binom{10}{3} = \) 120, encontrado en la fila 10, columna \(k=3\). La suma de cada entrada en la fila \(n\) es igual a \(2^n\) (p. ej. fila 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).
Más Ejemplos Trabajados
Los siguientes ejemplos aplican la fórmula \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\), usando el atajo multiplicativo \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) de modo que los factoriales enormes se cancelen antes de cualquier multiplicación grande sea necesaria.
Ejemplo 1: \(\binom{10}{3}\) — elegir 3 de 10
Mantenga solo los 3 factores decrecientes superiores de \(10!\) sobre \(3!\):
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$Entonces hay 120 formas de elegir 3 elementos de 10 cuando el orden no importa.
Ejemplo 2: \(\binom{6}{6}\) — elegir todos
Elegir cada elemento disponible se puede hacer de exactamente una forma. Con \(k = n\), el término \((n-k)!\) se convierte en \(0! = 1\):
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$Esto confirma la identidad \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1.
Ejemplo 3: \(\binom{49}{6}\) — una lotería de 6 de 49
El número de boletos desordenados distintos de 6 números de un conjunto de 49 utiliza el atajo multiplicativo con los seis factores decrecientes más grandes:
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$El numerador es \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\), y el denominador es \(6! = 720\):
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$Entonces un solo boleto tiene una probabilidad de 1 entre 13{,}983{,}816 de coincidir con los seis números. Si en su lugar quisiera extracciones ordenadas, usaría permutaciones \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) — pero para una lotería típica solo importa la combinación.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(\binom{n}{0}\)? Siempre 1: hay exactamente una forma de no elegir nada.
¿Es \(\binom{n}{k}\) igual que \(\binom{n}{n-k}\)? Sí, el coeficiente binomial es simétrico: elegir k elementos para quedártelos equivale a elegir n−k para descartarlos.
¿Qué diferencia hay entre combinaciones y permutaciones? Las combinaciones no tienen en cuenta el orden; las permutaciones sí. El número de permutaciones es \(\binom{n}{k} \times k!\).
