यह समांतर श्रेणी कैलकुलेटर क्या करता है
समांतर श्रेणी (अरिथमेटिक सीक्वेंस) संख्याओं की वह सूची होती है जिसमें हर पद एक निश्चित मात्रा से बढ़ता (या घटता) है। इस निश्चित मात्रा को सार्व अंतर (common difference) कहते हैं। यह कैलकुलेटर आपसे तीन मान लेता है और पलक झपकते ही अंतिम पद, सभी पदों का योग, और पूरी श्रेणी का रंग-आधारित चित्रण दिखा देता है, जिससे आप एक नज़र में बढ़ोतरी या गिरावट का रुझान समझ सकें।
आपको कौन-से मान भरने हैं
- पहला पद (a₁): श्रेणी का प्रारंभिक मान।
- सार्व अंतर (d): हर पद में जोड़ी जाने वाली मात्रा, जिससे अगला पद मिलता है। धनात्मक मान श्रेणी को बढ़ाता है और ऋणात्मक मान उसे घटाता है।
- पदों की संख्या (n): आप कितने पद बनाना चाहते हैं, जिन्हें सूचीबद्ध करके जोड़ा जाएगा।
उपयोग किए गए सूत्र
यह कैलकुलेटर समांतर श्रेणी के दो मानक सूत्रों का उपयोग करता है:
- nवाँ (अंतिम) पद: $$a_n = \text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times \text{d}$$
- n पदों का योग: $$S_n = \frac{\text{n}}{2}\times \left(2\,\text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times \text{d}\right)$$
यह \(a_1\) से \(a_n\) तक हर एक पद को भी अलग से बनाता है। चित्रण में हर पद को हरे-से-लाल रंग की श्रेणी में दिखाया जाता है और उसका आकार थोड़ा बदलता है — सबसे छोटा मान हरा और छोटा दिखता है, सबसे बड़ा मान लाल और बड़ा — ताकि रुझान आसानी से समझ आए।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए आप भरते हैं: पहला पद = 3, सार्व अंतर = 5, और पदों की संख्या = 6।
- अंतिम पद: $$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right)\times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- योग: $$S_6 = \frac{6}{2}\times \left(2 \times 3 + \left(6 - 1\right)\times 5\right) = 3 \times \left(6 + 25\right) = 3 \times 31 = \mathbf{93}$$
- श्रेणी: 3, 8, 13, 18, 23, 28
कैलकुलेटर अंतिम पद के रूप में 28, योग के रूप में 93 लौटाता है, और छहों पदों को उनके रंग ग्रेडिएंट के साथ दिखाता है।
विभिन्न अनुक्रम इनपुट की तुलना
एक अंकगणितीय अनुक्रम तीन इनपुट द्वारा परिभाषित किया जाता है: पहला पद \(a_1\), सामान्य अंतर \(d\), और पदों की संख्या \(n\)। इनसे आप अंतिम (nवां) पद और सभी पदों का योग इनका उपयोग करके गणना कर सकते हैं:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि अंतिम पद और योग कई यथार्थवादी इनपुट सेट के पार कैसे बदलते हैं। ध्यान दें कि एक नकारात्मक सामान्य अंतर एक घटते अनुक्रम का उत्पादन करता है, और एक भिन्नात्मक अंतर गैर-पूर्णांक पद का उत्पादन करता है।
| पहला पद \(a_1\) | सामान्य अंतर \(d\) | पदों की संख्या \(n\) | अंतिम पद \(a_n\) | योग \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
उदाहरण के लिए, अंतिम पंक्ति पूर्णांकों \(0+1+2+\cdots+99\) का योग करती है। \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\) का उपयोग करते हुए। यह समान कुल अंकगणितीय श्रृंखला सूत्र के साथ पुष्टि की जा सकती है, और समान रूप से योगफल \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\) के रूप में।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या सार्व अंतर ऋणात्मक या दशमलव हो सकता है? हाँ। इनपुट को दशमलव संख्या के रूप में पढ़ा जाता है, इसलिए −2 का अंतर घटती हुई श्रेणी बनाता है और 0.5 भिन्नात्मक चरण देता है। सिर्फ़ पदों की संख्या पूर्ण संख्या होनी चाहिए।
अगर मैं पदों की संख्या में 1 डालूँ तो क्या होगा? श्रेणी में केवल पहला पद रहेगा, अंतिम पद पहले पद के बराबर होगा, और योग वही मान होगा।
क्या यह समांतर सीरीज़ के लिए भी काम करता है? हाँ — "योग" वाला परिणाम ठीक समांतर सीरीज़ का मान (सभी पदों का कुल) है, जिसे ऊपर दिए गए \(S_n\) सूत्र से निकाला जाता है।
