この等差数列計算ツールでできること
等差数列とは、隣り合う項の差がつねに一定になっている数の並びのことです。この一定の差を「公差」と呼びます。本ツールは3つの値を入力するだけで、末項、すべての項の総和、そして数列全体の進み方をひと目で把握できるカラー表示を瞬時に算出します。
入力する3つの値
- 初項（a₁）：数列の最初の値です。
- 公差（d）：1つ前の項に加えて次の項を求める一定の値です。正の値なら数列は増加し、負の値なら減少します。
- 項数（n）：いくつの項を生成して一覧表示・合計するかを指定します。
使用している公式
本ツールは、等差数列でおなじみの2つの基本公式を用いて計算します。
- 第n項（末項）：$$a_n = \text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}$$
- 初項から第n項までの和：$$S_n = \frac{\text{n}}{2}\times\left(2\,\text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times\text{d}\right)$$
さらに、\(a_1\) から \(a_n\) までの各項を1つずつ生成します。表示画面では、各項が緑から赤へのグラデーションで色付けされ、サイズも少しずつ変化します。最小値は緑色で小さく、最大値は赤色で大きく表示されるため、数列の傾向が直感的につかめます。
計算例
たとえば、初項＝3、公差＝5、項数＝6 と入力してみましょう。
- 末項：$$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right)\times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- 総和：$$S_6 = \frac{6}{2}\times\left(2\times 3 + \left(6 - 1\right)\times 5\right) = 3\times\left(6 + 25\right) = 3\times 31 = \mathbf{93}$$
- 数列：3, 8, 13, 18, 23, 28
このとき本ツールは、末項として28、総和として93を返し、6つの項すべてをカラーグラデーション付きで表示します。
異なるシーケンス入力の比較
等差数列は3つの入力によって定義されます: 初項 \(a_1\)、公差 \(d\)、項の個数 \(n\)。これらから最後の（n番目の）項と全ての項の和を次の公式を使って計算できます:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
下の表は、複数の現実的な入力セットにおいて、最後の項と合計がどのように変わるかを示しています。負の公差が減少数列を生成し、小数の公差が非整数項を生成することに注意してください。
| 初項 \(a_1\) | 公差 \(d\) | 項の個数 \(n\) | 最後の項 \(a_n\) | 合計 \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
例えば、最後の行は整数 \(0+1+2+\cdots+99\) の合計です。\(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\) を使って計算します。この同じ合計は 等差級数 の公式で確認でき、また等価的に合計 \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\) として表すことができます。
よくある質問
公差に負の数や小数を使えますか？ はい、使えます。入力値は小数として扱われるため、公差を −2 にすれば減少する数列に、0.5 にすれば小数刻みの数列になります。整数で入力する必要があるのは項数だけです。
項数に1を入力するとどうなりますか？ 数列は初項のみとなり、末項は初項と同じ値になります。総和もその値そのものになります。
等差級数（数列の和）の計算にも使えますか？ はい。出力される「総和」は、まさに等差級数の値（すべての項の合計）であり、上記の \(S_n\) の公式で計算されています。
