二項係数とは？
二項係数は C(n, k) あるいは「nからk個を選ぶ（n choose k）」と表記され、n 個の異なるものから、順番を区別せずに k 個を選ぶ場合の組み合わせの数を表します。組合せ論や確率論でもっとも基本的な値の一つで、パスカルの三角形、二項定理、そして数えきれないほどの場合の数の問題に登場します。
この計算ツールの使い方
全体の個数 n と、選びたい個数 k を入力してください。組み合わせの数が正確に表示されます。なお k が n より大きい場合、存在する数より多くは選べないため、結果は 0 になります。
公式の解説
もっとも基本的な定義は次のとおりです。
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
階乗（!）は数が非常に大きくなりやすいため、本ツールでは同じ結果が得られる「掛け算による形」を用いています。具体的には i = 1…min(k, n−k) について (n−k+i)/i を順に掛け合わせます。これにより計算途中の数値を小さく保ち、オーバーフロー（桁あふれ）を防ぎながら、同じ整数の答えを得られます。
計算例
5枚のカードの山から2枚を引くとき、何通りの組み合わせができるでしょうか。
$$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$$
となります。つまり、2枚の組み合わせは10通りあります。
パスカルの三角形リファレンス（小さなnに対するC(n,k)）
表の各要素は二項係数 \(\binom{n}{k}\) であり、各行 \(n\) が \(k = 0, 1, \dots, n\) の値を列挙するように配置されています。これはパスカルの三角形を形成します。ここで、すべての内部要素は斜め上の2つの要素の合計に等しくなります：\(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)。各行内の対称性に注目してください。\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) だからです。
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
例えば、\(\binom{10}{3} = \) 120 は、行10、列 \(k=3\) にあります。行 \(n\) 内のすべての要素の合計は \(2^n\) に等しいです（例：行4：\(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)）。
さらに詳しい例
以下の例では、公式 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) を適用します。乗法的な速記法 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) を使用して、大きな階乗を計算する前に約分を行います。
例1：\(\binom{10}{3}\) — 10個から3個を選ぶ
\(10!\) の上位3つの下降因子のみを \(3!\) で保ちます：
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$したがって、順序を気にしないときに10個から3個を選ぶ方法は 120 通りあります。
例2：\(\binom{6}{6}\) — すべてを選ぶ
利用可能なすべての項目を選ぶことは、正確に1つの方法でのみ実行できます。\(k = n\) の場合、\((n-k)!\) 項は \(0! = 1\) になります：
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$これは恒等式 \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1 を確認します。
例3：\(\binom{49}{6}\) — 49から6を選ぶ宝くじ
49個の数字のプールから異なる順序を気にしない6つの数字のチケットの数は、6つの最大の下降因子による乗法的な速記法を使用します：
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$分子は \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\) で、分母は \(6! = 720\) です：
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$したがって、1枚のチケットが6つの数字すべてに一致する確率は 13,983,816 分の1です。代わりに順序付きの選択を希望する場合は、順列 \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) を使用します。ただし、典型的な宝くじでは組み合わせのみが重要です。
よくある質問
C(n, 0) はいくつになりますか？ 常に 1 です。「何も選ばない」選び方はちょうど1通りだけだからです。
C(n, k) と C(n, n−k) は同じ値ですか？ はい、二項係数には対称性があります。「残す k 個を選ぶ」ことは「除く n−k 個を選ぶ」ことと同じだからです。
組み合わせ（コンビネーション）と順列（パーミュテーション）の違いは？ 組み合わせは順番を区別せず、順列は順番を区別して数えます。順列の数は \(C(n, k) \times k!\) で求められます。
