각의 이등분선 정리 계산기

선분 DC	5
비율 BD : DC = AB : AC	1

각의 이등분선 정리란?

각의 이등분선 정리는 유클리드 기하학의 대표적인 정리입니다. 삼각형 ABC에서 각 A의 이등분선이 대변 BC와 점 D에서 만날 때, 이 선은 BC를 두 선분 BD와 DC로 나누며, 그 길이는 이등분된 각을 이루는 두 변의 길이에 비례합니다. 식으로 나타내면 $BD/DC = AB/AC$입니다. 이 계산기는 관련된 세 변의 길이를 입력하면 각 선분의 정확한 길이를 구해 줍니다.

꼭짓점 A에서 나온 각의 이등분선이 변 BC의 점 D에서 만나는 삼각형 ABC — A에서 그은 이등분선은 대변 BC를 선분 BD와 DC로 나눈다.

계산기 사용 방법

꼭짓점 B에 인접한 변 AB, 꼭짓점 C에 인접한 변 AC, 그리고 이등분되는 변 BC의 전체 길이를 입력하세요. 그러면 선분 BD(B에서 이등분선의 발까지), 선분 DC(D에서 C까지), 그리고 비례 비율 AB:AC가 계산됩니다. BD와 DC를 더하면 항상 BC가 됩니다.

공식 풀이

이등분선은 BC를 인접한 두 변의 비율로 나누므로, 다음과 같이 둘 수 있습니다.

$$BD = \text{BC} \cdot \frac{\text{AB}}{\text{AB} + \text{AC}} \qquad DC = \text{BC} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AB} + \text{AC}}$$

이 두 식은 비례식 $\frac{BD}{DC} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}$와 $BD + DC = BC$를 결합해 바로 유도됩니다. 여기서 이등분선의 길이 자체는 필요하지 않으며, 인접한 두 변만으로 비율이 정해진다는 점에 주목하세요.

BD 나누기 DC가 AB 나누기 AC와 같음을 보여주는 비례 다이어그램 — 정리: BD/DC는 AB/AC와 같다.

예제 풀이

$AB = 8$, $AC = 4$, $BC = 9$라고 합시다. $AB + AC = 12$입니다. 그러면 다음과 같습니다.

$$BD = \frac{9 \times 8}{12} = 6 \qquad DC = \frac{9 \times 4}{12} = 3$$

검산해 보면 $6 + 3 = 9 = BC$이고, 비율 $6:3 = 2:1$은 $AB:AC = 8:4 = 2:1$과 일치합니다. 각의 이등분선은 더 짧은 인접 변 쪽에 가깝게 변을 나눕니다.

서로 다른 삼각형들 간의 선분 분할

각의 이등분선 정리는 대변 $BC$를 두 부분인 $BD$와 $DC$로 나누며, 그 길이는 인접한 두 변 $AB:AC$의 비를 따릅니다. 두 인접한 변이 같을 때, 이등분선은 정확히 중점에 내려가고; 변이 한쪽으로 치우칠수록, 발 $D$는 더 짧은 변 쪽으로 밀려납니다. 아래 표는 세 가지 대표적인 경우를 다룹니다.

경우	AB	AC	BC	BD	DC	AB : AC
균형 (이등변삼각형)	6	6	10	5	5	1 : 1
보통	8	4	9	6	3	2 : 1
비틀린	10	2	6	5	1	5 : 1

보통 경우에 대한 풀이 검증: $AB = 8$, $AC = 4$, $BC = 9$일 때,

$$BD = BC \cdot \frac{AB}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{8}{8 + 4} = 9 \cdot \frac{8}{12} = 6,$$ $$DC = BC \cdot \frac{AC}{AB + AC} = 9 \cdot \frac{4}{12} = 3.$$

두 선분은 $BD + DC = 6 + 3 = 9 = BC$로 다시 더해지고, 비 $BD:DC = 6:3 = 2:1$은 $AB:AC = 8:4 = 2:1$과 일치하여 정리를 확인해줍니다.

핵심 용어 및 변수

삼각형 ABC — 세 꼭짓점이 $A$, $B$, $C$로 표시된 삼각형입니다. 이 도구의 이등분선은 꼭짓점 $A$에서 대변 $BC$로 그려집니다.
꼭짓점 A — 각의 이등분선이 그려지는 모서리입니다. $A$에서의 내각(각 $\angle BAC$)은 두 개의 같은 반으로 나뉘는 각입니다.
각의 이등분선 — 각을 두 개의 같은 각으로 나누는 직선 또는 선분입니다. $A$에서의 이등분선은 $\angle BAC$를 같은 크기의 두 각으로 나눕니다.
점 D (이등분선의 발) — 이등분선이 $A$에서 대변 $BC$를 만나는 점입니다. 내부 이등분선의 경우 $B$와 $C$ 사이에 있습니다.
선분 BD — 꼭짓점 $B$에서 발 $D$까지 변 $BC$의 부분입니다. 이는 인접한 변 $AB$에 비례합니다.
선분 DC — 발 $D$에서 꼭짓점 $C$까지 변 $BC$의 부분입니다. 이는 인접한 변 $AC$에 비례합니다. 함께 $BD + DC = BC$입니다.
AB : AC 비 — 꼭짓점 $A$에 인접한 두 변의 비입니다. 각의 이등분선 정리는 $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$를 나타내므로, 이 비가 $BC$가 어떻게 분할되는지를 직접 제어합니다.
내부 대 외부 이등분선 — 내부 이등분선은 내각을 나누고 $BC$ 사이의 $B$와 $C$ 사이에서 만납니다 (여기서 다루는 경우). 외부 이등분선은 보충 외각을 나누고 선분 $BC$ 밖의 직선 $BC$를 만나며, 같은 비 $AB:AC$로 외적으로 나눕니다.