아크코사인(역코사인) 계산기란?
아크코사인은 \(\arccos(x)\) 또는 \(\cos^{-1}(x)\)로 표기하며, "코사인 값이 x가 되는 각도는 무엇인가?"라는 질문에 답해 줍니다. 코사인 함수는 -1과 1 사이의 값만 출력하기 때문에, 입력값 x도 반드시 이 범위 안에 있어야 합니다. 이 계산기는 주값(principal value) 각도 θ를 라디안과 도(°) 단위로 함께 보여 주며, θ는 \([0, \pi]\) 라디안(즉 0°부터 180°까지) 범위에 들어갑니다.
사용 방법
입력란에 -1과 1 사이의 숫자를 입력하면 계산기가 \(\theta = \arccos(x)\)를 계산합니다. 결과는 강조 표시된 박스에 먼저 도(°) 단위로 나타나고, 그 아래에 정확한 라디안 값이 표시됩니다. 코사인이 이 범위를 벗어날 수 없으므로, [-1, 1]을 벗어난 값은 가장 가까운 유효한 끝값으로 자동 보정됩니다.
공식 설명
이 관계식은 다음과 같으며,
$$\theta = \arccos\left(x\right) \quad\Rightarrow\quad \theta_{\deg} = \arccos\left(x\right) \times \frac{180}{\pi}$$이는 \(x = \cos(\theta)\)의 역함수입니다. 라디안으로 구한 답을 도(°)로 변환하려면 \(\frac{180}{\pi}\)를 곱하면 됩니다. 예를 들어 \(\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\) 라디안 = 90°인데, 이는 \(\cos(90°) = 0\)이기 때문입니다.
예제 풀이
\(x = 0.5\)라고 가정해 봅시다. 그러면 \(\theta = \arccos(0.5) = 1.047198\) 라디안입니다. 변환하면 다음과 같습니다.
$$1.047198 \times \frac{180}{\pi} \approx 60°$$\(\cos(60°) = 0.5\)이므로 이 값은 정확합니다.
일반적인 arccos 값
역코사인 함수 \(\theta = \arccos(x)\)는 \(-1 \le x \le 1\) 범위의 입력만 허용하며 주각을 \([0, \pi]\) 라디안으로, 즉 \([0^\circ, 180^\circ]\)로 반환합니다. 아래 표는 삼각함수 전체에서 사용되는 표준 기준값을 나열하며, 각도는 \(\pi\)의 정확한 분수 형태와 도(degree) 형태 모두로 표시됩니다.
| x | 소수 x | arccos(x) (라디안) | arccos(x) (도) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | \(0\) | 0° |
| \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.866 | \(\tfrac{\pi}{6}\) | 30° |
| \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 0.707 | \(\tfrac{\pi}{4}\) | 45° |
| \(\tfrac{1}{2}\) | 0.500 | \(\tfrac{\pi}{3}\) | 60° |
| 0 | 0.000 | \(\tfrac{\pi}{2}\) | 90° |
| \(-\tfrac{1}{2}\) | -0.500 | \(\tfrac{2\pi}{3}\) | 120° |
| \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | -0.707 | \(\tfrac{3\pi}{4}\) | 135° |
| \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | -0.866 | \(\tfrac{5\pi}{6}\) | 150° |
| -1 | -1.000 | \(\pi\) | 180° |
대칭성에 주목하세요: \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\). 예를 들어, \(\arccos(-\tfrac{1}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\)이며, 이는 표의 60°와 120° 쌍을 확인해줍니다.
자주 묻는 질문
왜 x는 -1과 1 사이여야 하나요? 코사인 함수는 이 범위를 벗어난 값을 절대 만들어 내지 않으므로, 그 역함수도 이 범위 안에서만 정의됩니다.
답은 어떤 범위에 들어가나요? 아크코사인의 주값은 항상 0과 π 라디안(0°부터 180°까지) 사이에 있습니다.
arccos(1)과 arccos(-1)은 얼마인가요? \(\arccos(1) = 0°\)(\(\cos 0° = 1\))이고, \(\arccos(-1) = 180°\)(\(\cos 180° = -1\))입니다.
