什麼是正八邊形面積計算器？
這個工具能依據單一邊長，算出正八邊形的面積。所謂正八邊形，是指八條邊長度相等、八個內角也都相同的多邊形。從停車再開的停止標誌、雨傘骨架，到地板磁磚與各式建築設計，正八邊形隨處可見，因此快速掌握它所圍出的面積，無論是手作、施工，還是幾何作業都相當實用。
使用方法
輸入其中一條邊的長度（\(s\)），單位可以自由選擇——公分、英吋、公尺或英呎都行。按下計算後，工具會以該單位的平方回傳面積，同時附上周長。由於公式純粹是幾何運算，因此適用於任何單位、任何正數的邊長。
公式說明
正八邊形的面積為：
$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\cdot s^{2}$$
其中常數 \(2\left(1 + \sqrt{2}\right)\) 約等於 \(4.8284\)。正八邊形可以拆解成中央一個正方形、四個長方形與四個角落三角形；把這些部分相加，就會得到這個簡潔的算式。至於周長，因為八條邊都相等，所以直接 \(P = 8s\) 即可。
計算範例
假設每條邊長為 5 個單位，則 \(s^{2} = 25\)，代入後 $$A = 2(1 + 1.41421) \times 25 = 4.82843 \times 25 \approx 120.71 \text{ 平方單位}$$ 周長則是 \(8 \times 5 = 40\) 個單位。
常見邊長的正八邊形面積
正八邊形的面積可以直接從其邊長 \(s\) 使用公式 \(A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)s^{2}\) 求得，其中常數 \(2(1+\sqrt{2}) \approx 4.828427\)。周長簡單地為 \(P = 8s\)。下表列出了一系列常見邊長的這兩個量，四捨五入到小數點後兩位。數值使用一致的單位——如果 \(s\) 以釐米為單位，面積則以平方釐米為單位。
| 邊 \(s\) | 周長 \(8s\) | 面積 \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 4.83 |
| 2 | 16 | 19.31 |
| 5 | 40 | 120.71 |
| 10 | 80 | 482.84 |
| 20 | 160 | 1931.37 |
| 50 | 400 | 12071.07 |
| 100 | 800 | 48284.27 |
由於面積與邊長的平方成正比，將邊長加倍會使面積增加四倍——例如，從 \(s=10\) 變為 \(s=20\) 時，面積從 482.84 增加到 1931.37，增加了四倍。
正八邊形尺寸轉換
正八邊形可以由多個相關測量值描述，每個測量值都是邊長 \(s\) 的固定倍數。平邊之間的寬度 \(W\) 是兩條相對平行邊之間的距離；角之間的寬度 \(D\)（外接圓直徑）是兩個相對頂點之間的距離。它們由以下公式給出：
$$W = s\left(1+\sqrt{2}\right), \qquad D = s\sqrt{4+2\sqrt{2}}, \qquad P = 8s$$| 量 | 公式 | 因子 × \(s\) |
|---|---|---|
| 周長 \(P\) | \(8s\) | 8 |
| 平邊之間的寬度 \(W\) | \(s(1+\sqrt{2})\) | 2.414214 |
| 角之間的寬度 \(D\) | \(s\sqrt{4+2\sqrt{2}}\) | 2.613126 |
| 面積 \(A\) | \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) | 4.828427（× \(s^{2}\)） |
若要反向轉換，請除以該因子。例如，如果您知道平邊之間的寬度，邊長為 \(s = W / (1+\sqrt{2}) \approx 0.414214\,W\)；如果您知道角之間的直徑，\(s = D / \sqrt{4+2\sqrt{2}} \approx 0.382683\,D\)。一旦恢復 \(s\)，面積就遵循 \(A = 2(1+\sqrt{2})s^{2}\)。例如，邊長為 \(s = 30\,\text{cm}\) 的停止標誌形八邊形的平邊之間寬度為 \(72.43\,\text{cm}\)，角之間寬度為 \(78.39\,\text{cm}\)，面積為 4345.58 cm²。
常見問題
不規則的八邊形也適用嗎？不行。這個公式假設是邊長與角度全部相等的正八邊形。不規則八邊形必須拆分成多個三角形，再分別計算面積後加總。
可以使用哪些單位？任何一致的單位都行——你輸入邊長用什麼單位，算出的面積就是該單位的平方。
如果只知道對邊距離（across flats），該怎麼求面積？對邊寬度 \(W\) 與邊長的關係為 \(W = s(1 + \sqrt{2})\)，因此 \(s = W / (1 + \sqrt{2})\)。先換算成邊長，再輸入即可。
