什麼是等差級數求和計算機？
所謂等差級數，就是把一個等差數列的各項加總起來。等差數列指的是一串數字，其中每一項都比前一項增加（或減少）固定的數值，這個固定差值稱為「公差」。只要提供首項、公差，以及想要加總的項數，這個計算機就能幫你算出前 n 項的總和。
使用方法
輸入首項 a₁、公差 d（遞增填正數、遞減填負數），以及項數 n。計算機會回傳級數總和 Sₙ、末項 aₙ，並確認你所設定的項數。
公式說明
總和的計算公式如下：
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
其中的原理是：把首項與末項配成一對相加，每一對的總和都相同，而這樣的配對共有 \(n/2\) 組。由於末項為 \(a_n = a_1 + \left(n - 1\right)d\)，因此也可以改寫成等價形式 \(S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)\)。
實際範例
假設 \(a_1 = 2\)、\(d = 3\)、\(n = 5\)，那麼各項依序為 2、5、8、11、14。代入公式：$$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + \left(5-1\right)\cdot 3\right) = 2.5\cdot\left(4 + 12\right) = 2.5\cdot 16 = 40$$直接相加驗算：\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\)。✔
更多已解决的例題
等差級數和的兩個等價形式為：
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{且}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$第二種形式在你已知（或先計算）最後一項 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 時便很方便。
例題 1 — 負公差的遞減級數
一個級數以 \(a_1 = 40\) 開始，每步減少 \(d = -3\)，共有 \(n = 10\) 項。
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$級數和為 265。（第 10 項為 \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\)，所以各項為 40, 37, 34, … , 13。）
例題 2 — 大 n 的情況
求級數前 \(n = 100\) 項的和，其中 \(a_1 = 5\) 且 \(d = 4\)。
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$級數和為 20300。
例題 3 — 使用 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) 形式
一個級數有 \(a_1 = 7\)、\(d = 5\) 和 \(n = 20\)。先求最後一項：
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$然後應用端點平均形式：
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$級數和為 1090。這與展開形式 \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\) 相符。
常見問題
如果 d 等於 0 會怎樣？每一項都等於 \(a_1\)，所以總和就是 \(n \times a_1\)。
d 可以是負數嗎？可以。負的公差會形成一個遞減的級數，公式依然能正確運算。
數列和級數有什麼差別？數列是依序排列的一串數字；級數則是把這些數字加總起來的結果。
